| << |  <  |  >  | >> |

Indice

    Introduzione                              7

 l. Figure ambigue                           12
 2. Il paradosso di Anfibio                  21
 3. Il paradosso del barbiere                26
 4. Il dilemma del coccodrillo               31
 5. Paradossi di Escher                      35
 6. Evanescenze geometriche                  46
 7. Verblu e bluver                          52
 8. Il paradosso eterologico                 58
 9. Figure impossibili                       64
10. Il paradosso dell'hotel infinito         74
11. Il paradosso dell'avvocato               83
12. Il paradosso del mentitore               89
13. Paradossi della prospettiva             102
14. Il paradosso della predizione           120
15. Il dilemma del prigioniero              126
16. Paradossi della probabilità             133
17. Il paradosso del corvo                  144
18. Il paradosso del negoziante             150
19. Paradossi dell'inversione statistica    154
20. Paradossi del tempo                     161
21. Paradossi topologici                    172
22. Il paradosso dell'esame imprevisto      181
23. Illusioni ottiche                       188
24. Il paradosso del voto                   202
25. I paradossi di Zenone                   209

    Bibliografia                            227
    Referenze                               241

 

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 7

Il libro contiene venticinque capitoli, organizzati in ordine alfabetico secondo il titolo inglese, ma ogni capitolo è pensato come autosufficiente; così è possibile qualsiasi ordine di lettura. Alla fine di ogni capitolo si trova una nota che indica gli altri capitoli del libro a esso collegati.

Il paradosso è stato definito, in modo bizzarro, come «una verità che poggia sulla testa per attirare l'attenzione». Probabilmente tale espressione si avvicina più di ogni altra definizione formale all'essenza del paradosso perché, in effetti, un paradosso è cosa veramente difficile da definire.

La parola deriva dal greco (parà e doxa) e significa «contrario all'opinione comune». Nell'accezione attuale, il termine «paradosso» assume una pluralità di significati e la sua accezione più generale è quella di «affermazione o credenza contraria a quanto ci si aspetta o all'opinione accettata». Le definizioni di paradosso che interessano questo libro sono un po' più specifiche e comprendono fondamentalmente tre diversi significati: l. un'affermazione che sembra contraddittoria ma che, in realtà, è vera; 2. un'affermazione che sembra vera ma che, in effetti, contiene una contraddizione; 3. un'argomentazione valida o corretta che porta a conclusioni contraddittoríe. Ovviamente i tipi 1 e 2 di affermazioni paradossali sono spesso, anche se non sempre, conclusioni di argomentazioni del tipo 3. Questo libro tratta argomenti - visivi, logici, matematici, scientifici e di altro genere - che cercano di portare a conclusioni paradossali.

Alcuni paradossi sono profondi, altri banali. Molti sembrano essere fallaci, ma anche tale eventualità non necessariamente li rende banali. Si dà spesso il caso che paradossi fallaci indichino la strada per una ricostruzione più precisa dei sistemi in cui essi si collocano. Naturalmente non tutti i paradossi sono fallaci: alcuni sono ragionamenti corretti, ma implicano nozioni contrarie all'intuizione. In questi paradossi le conclusioni che siamo costretti ad accettare sono vere, ma sembrano inattese e contrarie al senso comune. Come scrive Anatol Rapoport, esperto di comunicazione e di teoria dei giochi:

I paradossi hanno giocato un ruolo drammatico nella storia intellettuale, spesso anticipando rivoluzionari sviluppi nella scienza, nella matematica e nella logica. Ogni volta che in una disciplina incontriamo un problema che non si può risolvere nel contesto concettuale che ritenevamo applicabile, ne rimaniamo sconvolti. La scossa che riceviamo può costringerci a lasciare da parte il vecchio contesto e ad adottarne uno nuovo. È a questo processo di modificazione intellettuale che si deve la nascita di molte fra le più importanti idee matematiche e scientifiche... Il paradosso di Zenone, quello di Achille e della tartaruga, ha dato origine all'idea delle serie infinite convergenti. Le antinomie (contraddizioni interne nella logica matematica) sono sfociate alla fine nel teorema di Gödel. Il risultato paradossale dell'esperimento di Michelson-Morley sulla velocità della luce pose le basi per la teoria della relatività. La scoperta del dualismo onda-corpuscolo della luce costrinse a un riesame della causalità deterministica e dei fondamenti ultimi della epistemologia, e condusse alla meccanica quantistica. Il paradosso del demone di Maxwell, che Leo Szilard per primo trovò modo di risolvere nel 1919, indusse a osservare che i concetti, apparentemente distanti, di informazione e di entropia sono intimamente collegati tra loro.

È possibile aggiungere numerosi altri paradossi alla serie, elencata da Rapoport, di quelli che hanno prodotto significativi cambiamenti nel modo in cui vediamo il mondo. Come ha detto Willard Van Quine: «Di tutti i caratteri dei paradossi, il più interessante è la loro capacità, talvolta, di essere molto meno inutili di quanto non sembrino».

Indipendentemente dal tipo, i paradossi presentano alcune caratteristiche. Tra queste la principale è la contraddizione, ma sono spesso presenti l'autoreferenza e anche la circolarità. Di solito i paradossi sono molto ambigui e sovente le loro soluzioni mettono in luce la molteplicità di significati o di interpretazioni presenti nel linguaggio ordinario, o le immagini che lo costituiscono. Chi si occupa di paradossi deve essere sempre attento alle ambiguità, alle indeterminatezze e agli altri sintomi di ragionamento fallace.

La considerazione storica dei paradossi nella cultura occidentale mostra che esistono tre periodi di intenso interesse per il ragionamento paradossale. Il primo si dà nell'antica Grecia, dal V secolo circa al II secolo a.C. Il paradosso del mentitore e quelli di Zenone sono di questo periodo. L'interesse per i paradossi parve venire meno intorno all'inizio dell'era cristiana, e solo con la riscoperta dei testi classici da parte della scolastica medievale si ebbe una ripresa di interesse per i problemi «insolubili». I semi dell'interesse, piantati dagli scolastici medievali, diedero frutti nel Rinascimento. Si sa che più di cinquecento raccolte di paradossi - da quelli scientifici a quelli letterari - furono pubblicate in questo periodo nell'Europa occidentale.

Il terzo momento di interesse per i paradossi ebbe inizio nella seconda metà dell'Ottocento e continua ancora oggi. Tra la metà dell'Ottocento e i primi del Novecento si realizza gran parte del processo di formalizzazione della matematica e della logica, e questo porta inevitabilmente a una riconsiderazione dei paradossi, alcuni nuovi, altri antichi e non ancora risolti. Oltre al ruolo prestigioso che il paradosso ottiene in matematica e in logica, la sua importanza in campo scientifico aumenta in seguito agli sconvolgenti risultati, contrari all'intuizione comune, derivanti dalla teoria della relatività e dalla meccanica quantistica.

La tendenza prosegue oggi anche in altre aree dell'attívità intellettuale: psicologia, economia, scienze politiche, filosofia, arti. È una tendenza che ha già prodotto analisi ampie e rigorose sui paradossi nella storia. Basato com'è sulla capacità dei paradossi di abbagliarci, conducendoci ai limiti del pensiero e della percezione umana, l'interesse attuale per loro sembra qualcosa di più di un semplice passatempo intellettuale.

| << |  <  |  >  | >> |

Pagina 26

Un certo villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere. Egli è un uomo ben sbarbato che rade tutti - e unicamente - gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Questi sono i fatti. La domanda è: «Chi rade il barbiere?»

A prima vista sembra plausibile supporre che il barbiere si faccia la barba da solo. Tuttavia, se si comporta in questo modo, viola la premessa secondo cui egli rade tutti gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Ma, se non si rade, allora il barbiere viola la premessa secondo cui egli rade tutti gli uomini che non si radono da soli. Chi, allora, rade il barbiere del villaggio?

Questo paradosso fu presentato per la prima volta nel 1918 dal filosofo inglese Bertrand Russell. Se il paradosso viene ridotto ai suoi termini più semplici, ci si rende conto di avere a che fare con due insiemi di uomini del villaggio: coloro che si radono da soli e coloro che non si radono da soli e, dunque, si fanno radere dal barbiere. Il problema effettivo è: a quale gruppo appartiene il barbiere? Di fatto, il barbiere non appartiene ad alcuno degli insiemi, in quanto, come si è visto, la sua presenza produce la conclusione contraddittoria secondo cui egli rade se stesso se e solo se non si rade. In realtà, come ha osservato il filosofo americano Willard Van Quine, il paradosso può essere considerato una prova valida a sostegno del fatto che il barbiere non può esistere: risulta un caso classico di reductio ad absurdum.

Tuttavia, la questione non è così elementare, in quanto il paradosso presenta una struttura esattamente parallela a un altro paradosso di Russell, quello dell'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come propri elementi. Russell presentò questo paradosso nel 1901, ed esso ebbe un grande impatto sul pensiero matematico del XX secolo. Riferendosi al rilievo del paradosso, il matematico tedesco Gottlob Frege, fondatore della moderna logica matematica, parlò di «tremori aritmetici».

Il nocciolo del paradosso di Russell è rappresentato dalla convinzione che per ogni descrizione o proprietà specificata esista un insieme corrispondente; cioè, un insieme viene costruito precisando una condizione necessaria e sufficiente per appartenere a tale insieme. Così, se fissiamo la condizione di essere un satellite della Terra nell'anno 100 a.C., tutto ciò che mostra di possedere queste caratteristiche - per esempio, la Luna - risulterebbe elemento dell'insieme dei «satelliti della Terra nel 100 a.C.». Se poi definissimo l'insieme dei «satelliti artificiali della Terra nel 100 a.C.», ci troveremmo di fronte a un insieme vuoto, un insieme cioè che non ha elementi, ma che è pur sempre un insieme: l'insieme vuoto, come appunto si dice.

L'antinomia di Russell prende in considerazione l'autoappartenenza di un insieme. Gli insiemi di oggetti non sono chiaramente membri di se stessi; ad esempio, l'insieme dei satelliti terrestri nel 1980 non è elemento di se stesso, in quanto non ruota intorno alla Terra. Neppure l'insieme di tutti i libri di logica ricreativa è

| << |  <  |