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Copertina

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Indice

Sguardo dall'alto                       XI

Elenco delle illustrazioni             XIX

Ringraziamenti                         XXV


            Parte 1: GEB

Introduzione: un'offerta musico-logica   3

    Invenzione a tre voci               31

Capitolo I: Il Gioco MU                 36

    Invenzione a due voci               47

Capitolo II: Significato e
    forma in matematica                 50

    Sonata per Achille solo             67

Capitolo III: Figura e sfondo           70

    Contracrostipunto                   82

Capitolo IV: Coerenza, completezza
    e geometria                         90

    Piccolo labirinto armonico         113

Capitolo V: Strutture e processi
    ricorsivi                          137

    Canone per aumentazione
    intervallare                       166

Capitolo VI. Dove risiede
    il significato?                    171

    Fantasia cromatica e faida         192

Capitolo VII: Il Calcolo
    Proposizionale                     198

    Canone cancrizzante                217

Capitolo VIII: L'Aritmetica
    Tipografica                        223

    Un'offerta MU                      253

Capitolo IX: Mumon e Gödel             268


            Parte II: EGB

    Preludio e...                      299

Capitolo X: Livelli di descrizione
    e sistemi di calcolo               309

    ... mirmecofuga                    337

Capitolo XI: Cervelli e pensieri       365

    Suite anglo-franco-italo-ledesca   397

Capitolo XII: Menti e pensieri         400

    Variazioni Goldbach                424

Capitolo XIII: CicloL, CicloI, CicloH  439

    Aria sulla quarta corda            466

Capitolo XIV: Sulle proposizioni
    formalmente indecidibili dell'AT
    e di sistemi affini                474

    Cantatatata... per un compleanno   498

Capitolo XV: Uscire dal sistema        502

    Pensieri edificanti di un
    fumatore di tabacco                519

Capitolo XVI: Autoreferenza e
    Autoreplicazione                   535

    Magnifigranc in REaltà!            593

Capitolo XVII: Church, Turing,
    Tarski ed altri                    604

    Parla, SHRDLU, parla
    perché possa capirti               633

Capitolo XVIII: Intelligenza Artificiale:
    uno sguardo retrospettivo          641

    Contrafactus                       685

Capitolo XIX: Intelligenza Artificiale:
    uno sguardo alle prospettive       693

    Canone dell'Ai                     737

Capitolo XX: Strani Anelli e
    Gerarchie Aggrovigliate:
    il cuore dell'IA                   741

    Ricercare a sei voci               781

Note                                   805

Bibliografia ragionata                 808

Fonti del materiale ffiustrativo       822

Indice analitico                       824

 

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Pagina XI

Il libro si apre con la storia della Offerta musicale di Bach. Nel 1747 Bach fece una visita improvvisa a Federico il Grande di Prussia e in quella occasione gli fu richiesto di improvvisare su un tema presentatogli dal Re. Le sue improvvisazioni formarono poi la base di quel grande lavoro. L' Offerta musicale e la sua storia costituiscono il tema sul quale io stesso "improvviso" per tutto il libro rendendolo così una specie di "Offerta metamusicale". Vengono discussi a lungo l'autoreferenza e il gioco tra i diversi livelli nell'opera di Bach; si passa poi a una discussione di idee omologhe nei disegni di Escher e finalmente al Teorema di Gödel. Fornisco una breve presentazione della storia della logica e dei paradossi come sfondo al Teorema di Gödel. Tutto questo porta ai calcolatori ed al ragionamento meccanico nonché al dibattito sulla possibilità dell'Intelligenza Artificiale. Concludo con una spiegazione sulle origini del libro stesso: in particolare sul perché e sul per come dei Dialoghi.

Invenzione a tre voci.

Bach scrisse quindici invenzioni a tre voci. In questo Dialogo con tre personaggi, la Tartaruga e Achille, protagonisti di quasi tutti i Dialoghi, vengono "inventati" da Zenone (come lo furono nella realtà: Zenone se ne servì per illustrare i suoi paradossi sulla impossibilità del moto). Un Dialogo molto breve che serve semplicemente a dare il sapore di quelli a venire.

Capitolo I: Il Gioco MU.

Viene presentato un semplice sistema formale (il sistema MIU) e il lettore viene invitato a tentare di risolvere un gioco in esso formulato per acquistare familiarità con i sistemi Normalizzati in generale. Vengono introdotti alcuni concetti fondamentali: stringa, teorema, assioma, regola di inferenza, derivazione, sistema formalizzato (o formale), procedura di decisione, lavorare all'interno e all'esterno del sistema.

Invenzione a due voci.

Bach scrisse anche quindici invenzioni a due voci. Questo Dialogo con due personaggi non fu scritto da me, ma da Lewis Carroll nel 1895. Carroll prese in prestito i personaggi di Achille e della Tartaruga da Zenone ed io a mia volta li ho presi in prestito da Carroll. L'argomento del Dialogo è la relazione tra ragionamento, ragionamento sul ragionamento, ragionamento sul ragionamento sul ragionamento, e così via. Esso segue in un certo modo la stessa linea dei paradossi di Zenone sulla impossibilità del moto, mostrando apparentemente, con l'uso del regresso all'infinito, che il ragionamento è impossibile. È un bel paradosso al quale farò riferimento diverse volte nel corso del libro.

Capitolo II: Significato e forma in matematica.

Viene introdotto un nuovo sistema formalizzato (il sistema pg) ancora più semplice del sistema MIU del Capitolo I. A prima vista esso sembra privo di significato, ma i suoi simboli improvvisamente si rivelano significanti in virtù della forma dei teoremi nei quali occorrono. Questa rivelazione costituisce la prima importante intuizione sul significato: il suo profondo legame con l'isomorfismo. Vengono poi discussi vari temi legati al significato: verità, dimostrazione, manipolazione simbolica e l'elusivo concetto di "forma".

[...]

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Pagina 31

Achille: Che cos'è quella strana bandiera all'altro lato della pista? Mi ricorda in qualcosa una stampa del mio artista preferito, M. C. Escher.

Tartaruga: Quella è la bandiera di Zenone.

Achille: Il foro che c'è non somiglia a quelli disegnati da Escher in un suo nastro di Möbius? Qualcosa non va in quella bandiera. Ne sono certo.

Tartaruga: L'anello che è stato ritagliato nella bandiera ha la forma di un numero zero, che è il numero preferito di Zenone.

Achille: Ma lo zero non è stato ancora inventato! Verrà inventato tra qualche millennio da un matematico indiano. E quindi, signorina T., ciò prova che quella bandiera è impossibile.

Tartaruga: Il suo argomento è convincente, Achille, ed io devo convenire che una simile bandiera è davvero impossibile! Comunque è bella, non è vero?

Achille: Oh, si, non c'è dubbio alcuno sulla sua bellezza.

Tartaruga: Mi chiedo se la sua bellezza non sia connessa con la sua impossibilità. Non lo so; non ho mai avuto il tempo di analizzare la Bellezza. La Bellezza è una Essenza Maiuscola, e sembra che io non abbia mai tempo per le Essenze Maiuscole.

Achille: Parlando di Essenze Maiuscole, signorina T., si è mai interrogata sullo Scopo della Vita?

Tartaruga: Cielo, no!

Achille: Non si è neanche mai chiesta come mai siamo qui, chi ci ha inventati?

Tartaruga: Oh, questa è una cosa del tutto diversa. Noi siamo invenzioni di Zenone (come presto scoprirà) e la ragione per la quale siamo qui è che dobbiamo misurarci in una gara podistica.

Achille: Una gara podistica? Che insolenza! Io, il più veloce di tutti i mortali, misurarmi con lei, l'essere più lento di tutti i lenti! Questa gara non può che essere priva di senso.

Tartaruga: Lei potrebbe darmi un po' di vantaggio.

Achille: Dovrei darle un grossissimo vantaggio.

Tartaruga: Non faccio obiezioni.

Achille: Ma la raggiungerò, prima o poi; molto probabilmente, prima.

Tartaruga: No, se le cose andranno secondo il paradosso di Zenone. Zenone spera di usare la nostra gara podistica per dimostrare che il moto è impossibile, capisce? Secondo Zenone, il moto sembra possibile solo nella mente. In verità, il Moto è Inerentemente e Intrinsecamente Impossibile. Ed egli lo dimostra in maniera davvero elegante.

Achille: Oh, mi ricordo adesso: il famoso kòan Zen sul Maestro Zen Zenone. Come lei dice, è davvero molto semplice.

Tartaruga: Kòan Zen? Maestro Zen? Che cosa dice?

Achille: Dice: Due monaci stavano discutendo di una bandiera. Uno disse: "La bandiera si muove". L'altro disse: "È il vento a muoversi". Zenone, il sesto patriarca, stava passando per caso da quelle parti. Egli disse loro: "Non il vento, non la bandiera; è la mente che si muove>".

Tartaruga: Ho l'impressione che lei faccia un po' di confusione, Achille. Zenone non è un maestro Zen; tutt'altro. Egli è, in verità, un filosofo greco della città di Elea (che sta a metà strada fra il punto A e il punto B). Nei prossimi secoli sarà famoso per i suoi paradossi sul moto. In uno di questi paradossi la gara podistica che lei e io dovremo affrontare ha il ruolo centrale.

Achille: Sono veramente perplesso. Mi ricordo perfettamente che mi ripetevo di continuo i nomi dei sei patriarchi Zen, e dicevo sempre: "Il sesto patriarca è ZZ...enone, il sesto patriarca è ZZ...enone..." (Improvvisamente si leva una leggera, tiepida brezza). Oh, guardi, signorina Tartaruga, com'è bella la bandiera che ondeggia! Che bei giochi di luce vi producono quelle increspature che scivolano lungo il morbido tessuto! Ed anche l'anello che vi è ritagliato ondeggia!

Tartaruga: Non sia ridicolo. La bandiera è impossibile, quindi non può ondeggiare. Il vento ondeggia.

(Compare Zenone).

Zenone: Salve, salve. Che succede? Che c'è di nuovo?

Achille: La bandiera si muove.

Tartaruga: È il vento a muoversi.

Zenone: Oh amici, amici, ponete fine alle vostre diatribe! Fermate la vostra ira! Cessate le vostre discordie! Poiché io risolverò il problema per voi in un attimo. E poi in un giorno così bello!

Achille: Questo è un po' suonato.

Tartaruga: No, aspetti, Achille, vediamo che cosa ha da dire. Oh, sconosciuto, deh, fa' noi partecipi del tuo pensiero su questo argomento.

Zenone: Con estremo piacere. Non il vento, non la bandiera: nessuno dei due si muove. Né altro si muove. Perché io ho scoperto un grande Teorema che dice: "Il Moto è Inerentemente e Intrinsecamente Impossibile". E da questo Teorema consegue un Teorema ancora più grande, il Teorema di Zenone: "Il Moto Unesiste".

Achille: "Il Teorema di Zenone"? È lei, per caso, il filosofo Zenone di Elea?

Zenone: Ebbene, sì, Achille.

Achille (grattandosi il mento con un'espressione di stupore): Come fa, questo, a sapere il mio nome?

Zenone: Posso persuadere voi due ad ascoltarmi sul perché è così? Ho fatto tutta la strada dal punto A fino ad Elea questo pomeriggio, proprio per tentare di trovare qualcuno disposto a prestare un po' di attenzione alla mia inattaccabile argomentazione. Ma qui sono tutti indaffarati, e non hanno tempo. Non potete immaginare quanta amarezza si prova quando si riceve un rifiuto dopo l'altro. Oh, mi dispiace di annoiarvi con i miei guai, ma vorrei chiedervi solo una cosa: sareste disposti voi due a compiacere un vecchio, ridicolo filosofo ascoltandolo per pochi attimi, solo pochi davvero, appena il tempo necessario per esporre le sue eccentriche teorie?

Achille: Oh, ma certo! Prego, ci illumini! Io so che parlo per entrambi, poiché la mia amica Tartaruga stava proprio parlando di lei poco fa con grande venerazione e ha accennato in particolare ai suoi paradossi.

Zenone: Grazie. Vedete, il mio Maestro, il quinto patriarca, mi ha insegnato che la realtà è una, immutabile ed eterna; tutta la pluralità, il divenire e il moto sono mere illusioni dei sensi. Alcuni si sono presi gioco delle sue idee; ma io mostrerò l'assurdità di questo atteggiamento irriverente. Il mio argomento è molto semplice. Lo illustrerò con due personaggi di mia Invenzione: Achille (il guerriero greco, il più veloce di tutti i mortali) e una Tartaruga. Nel mio racconto, essi vengono convinti da un passante a fare una gara podistica lungo una pista verso una

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