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Indice

 XI Introduzione

    Il diavolo in cattedra

  3 Preludio all'inferno

    Parte prima. Introduzione storico-filosofica

  9 I.  In principio era la Logica
 10     Il reale è razionale
 11     Il razionale è reale
 14 II. La via dell'argomentazione
 14     La dialettica della dialettica
 16     Tu chiamale, se vuoi, emozioni
 18     L'arte di avere torto
 20 III.La via del paradosso
 20     Le gambe di Achille
 23     Il naso di Finocchio
 27 IV. La via della dimostrazione
 28     Odissea nel piano
 29     Il teatro dell'assurdo
 31     Dalla matematica alla filosofia
 33     Discorso sul metodo (assiomatico)
 36 V.  Sei personaggi in cerca d'autore
 36     Un intellettuale organico
 39     Uno stoico simbolico
 41     Un candido visionario
 44     Un inglese calcolatore
 45     Un tedesco sensato e (in)significante
 46     Un austriaco (mica tanto) completo

    Parte seconda. Logica proposizionale

 51 VI. Le divisioni della logica
 51     Le SSS
 53     L'arsenale atomico
 54     I moschettieri
 56     Parata di greche
 60 VII.Le leggi del pensiero
 61     La contraddizion che nol consente
 63     Ex falso quodlibet
 65     Consequentiae
 67     Reductio ad absurdum
 68     Consequentia mirabilis
 72 VIII.Le tavole della legge
 73     Tertium non datur
 74     Comportamenti stoici
 76     Schemi kantiani
 78     Uno per tutti, tutti per uno
 81     Una deduzione metafisica
 84 IX. L'albero della conoscenza*
 85     Sintesi analitiche
 88     Analisi sintetiche
 90     Opposti estremismi
 95     Metalogica
100 X.  Tertium datur*
101     Tanto rumore per nulla
104     Non c'è il due senza il tre
107     Intender non la può chi non la prova
112     Quel che manca non fa danni
114 XI. Fare di necessità virtú*
114     Contingenze storiche
117     Necessità logiche
119     Possibilità metalogiche
125     Implicazioni della modalità

    Parte terza. Logica predicativa

131     Interludio in terra
131     Gli oggetti del desiderio
134     I termini del discorso
137 XII.In principio era il verbo essere
138     Un dilemma amletico
139     A morte Parmenide
141     Il discorso sui termini
145     La molteplicità dell'essere
147 XIII.Qualcuno, nessuno e centomila
147     Signa quantitatis
149     Formule in predicato
151     La qualità della quantità
158 XIV.Archeologia ellenica*
158     L'invasione dei Barbari
160     Graecia capta ferum victorem cepit
164     Le figure del sillogismo
167     Chi non muore si rivede
170     Appendice. I modi validi del sillogismo
172 XV. L'albero della vita*
172     Risposta a Pilato
178     From Frege to Gödel
185     Cime tempestose
189     Problemi d'identità

    Parte quarta. Teorie matematiche
                  del prim'ordine

197 XVI.Relazioni platoniche
197     Una visione d'insieme
203     Cattive intensioni
206     Il paradiso di Cantor
212     Buone estensioni
216 XVII. Rapporti incompleti*
217     Kantata profana
225     I gioielli della corona
227     Egocentrismo logico
232     Ritorno a Pitagora
234     Fine dei sogni
238 XVIII. Perenne indecisione*
239     L'homme machine
241     La machine homme
246     Fermi tutti
247     Anche la Chiesa dice la sua
250     Un piatto al Curry
255 XIX. Rapporti completi, infine
255     Cause invisibili di effetti visibili
258     La grazia non è mai troppa
262     Decisioni reali

    Parte quinta. Oltre il prim'ordine

267 XX. Per aspera ad astra*
267     L'imperativo categorico
271     Incontri ravvicinati del secondo tipo
275     La scala di Giacobbe

281 Postludio in cielo (o quasi)

287 Bibliografia
295 Indice dei nomi

 

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Pagina 9

In principio era la Logica

Il ruolo del pensiero e della parola nella creazione delle cose costituisce uno dei temi classici della mitologia. Ad esempio, la Pietra di Shabaka egiziana narra che il mondo è stato concepito nel pensiero e posto in essere dalla parola del dio Ptah, mentre nel Popul Vuh maya sono Tepeu e Gucumatz a creare il mondo unendo il loro pensiero e le loro parole.

In Occidente, la formulazione piú nota dello stesso mito è l'inizio gnostico del Vangelo secondo Giovanni: «In principio era il Verbo, e il Verbo era presso Dio, e Dio era il Verbo». Mentre però l'italiano «verbo» è poco espressivo, l'originale greco logos significa anche troppo: in particolare, può essere inteso come «parola», «ragione» o «frazione».

Poiché etimologicamente la logica è lo studio del logos, dai significati appena citati deriva che questo studio si può intraprendere seguendo almeno tre vie, corrispondenti a tre diverse tradizioni: linguistica, filosofica e matematica. Naturalmente, i tre studi vanno intesi in sensi complementari e non contrapposti, come dimostra la loro simultanea compresenza nelle opere di coloro che possono essere considerati, rispettivamente, il fondatore e il rifondatore della logica: Aristotele nei tempi antichi e Frege in quelli moderni. Dedicheremo dunque i prossimi tre capitoli a esaminare da vicino queste tre anime della logica. Prima, però, vogliamo soffermarci brevemente sulla piú generale reinterpretazione dell'inizio del Vangelo secondo Giovanni data da Agostino nelle Confessioni (XI, 8), in accordo con la discussione precedente: «In principio era la Ragione, e la Ragione era presso Dio, e Dio era la Ragione». In altre parole, vogliamo meditare sul ruolo epistemologico e ontologico, cioè di comprensione e creazione, che l'Occidente ha assegnato nel corso dei secoli al logos.

Il reale è razionale.

Il terzo frammento di Parmenide recita testualmente: «Il pensiero e l'essere sono la stessa cosa». Questa professione di fede nella sostanziale identità tra ciò che sta dentro e fuori della nostra testa costituisce la piú profonda giustificazione per lo studio della logica: se pensiero e universo si rispecchiano reciprocamente uno nell'altro, lo scrutinio del primo può infatti pretendere di essere la via regia per raggiungere la comprensione del secondo. Che l'universo esibisca caratteri di razionalità è la grande scoperta, niente affatto ovvia, che sta alla base della scienza: se tutto fosse casuale, la natura sarebbe solo un gioco d'azzardo e la vita una scommessa. Il primo ad aver asserito l'esistenza di una razionalità dell'universo fu forse Pitagora, sulle cui teorie torneremo in seguito, ma furono Anassagora e Platone a coniarne le descrizioni letterariamente piú felici, chiamandola rispettivamente Intelligenza e Anima del mondo.

L'espressione di questa razionalità richiedeva un linguaggio adatto, che fin dall'inizio fu identificato in quello matematico. In particolare, Pitagora predilisse l'aritmetica, Platone la geometria e la logica. La loro visione collettiva trovò l'espressione definitiva nel Timeo: il Demiurgo modella logicamente la materia a partire dal verbo essere e dai predicati di uguaglianza e disuguaglianza (35), dispone aritmeticamente gli astri secondo rapporti numerici corrispondenti alla scala musicale pitagorica (36) e produce geometricamente gli elementi componendo triangoli elementari in solidi platonici (53-56). La concezione pitagorico-platonica di un universo matematico fu fatta propria da Galileo nel Saggiatore (6), uno dei testi che segnarono l'inizio della fisica moderna:

Questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

Il linguaggio del libro della natura si è rivelato nel corso dei secoli molto piú complesso e variegato di quanto credesse Galileo, e se ne conosce oggi un'enorme varietà di dialetti: dall'analisi infinitesimale alla teoria della probabilità, dal calcolo tensoriale alla teoria dei gruppi. La visione essenziale della razionalità matematica dell'universo è però rimasta essenzialmente immutata, da Newton a Einstein, al punto che oggi nessuna legge di natura viene considerata scientifica se non è espressa mediante una formula matematica e dimostrata mediante un ragionamento logico, oltre che confermata (o, se si vuole, non refutata) da dati sperimentali. Parallelamente, una visione analoga sta alla base anche della filosofia moderna. In un passo cruciale del Discorso sul metodo di Cartesio - un'opera che troppo spesso si dimentica essere stata soltanto un'introduzione a tre saggi di matematica, fisica e cosmologia - si legge infatti (II, 19):

Quelle catene di ragionamenti, lunghe, eppur semplici e facili, di cui i geometri si servono per pervenire alle loro piu difficili dimostrazioni, mi diedero motivo di supporre che nello stesso modo si susseguissero tutte le cose di cui l'uomo può avere conoscenza, e che, ove si faccia attenzione di non accoglierne alcuna per vera quando non lo sia, e si osservi sempre l'ordine necessario per dedurre le une dalle altre, non ce ne fossero di cosí nascoste che non si potessero scoprire.

Pur non ricevendo un'accoglienza universale e assoluta come nella scienza, l'ideale di perfezione logico-geometrica proposto da Cartesio alla filosofia ha concepito incarnazioni memorabili, dall' Ethica ordine geometrico demonstrata di Spinoza al Tractatus Logico-Philosophicus di Wittgenstein: un'opera, quest'ultima, che asserisce l'esistenza di un sostanziale isomorfismo tra linguaggio, pensiero e mondo, ed effettua dunque un'ideale chiusura del cerchio aperto dal frammento di Parmenide.

Il razionale è reale.

Se la filosofia non ha raggiunto un accordo sul proprio metodo analogo a quello che caratterizza la scienza, lo si deve soltanto al fatto che è stato lo stesso concetto di razionalità a rivelarsi piú complesso del previsto: la razionalità del reale costituisce infatti la faccia visibile del logos, ma ne esiste anche una faccia nascosta la cui visione disvela la realtà del razionale, secondo il noto aforisma di Hegel.

La giustificazione teorica dell'esistenza degli enti di ragione sta nell'osservazione che ci sono verità che si possono conoscere con il solo pensiero: altrimenti, «non ci sono verità che si possono conoscere con il solo pensiero» sarebbe già una verità che si può conoscere con il solo pensiero. Questo argomento, un'applicazione della cosiddetta consequentia mirabilis che analizzeremo in seguito, mostra che la sola logica è sufficiente a dedurre l'esistenza di verità indipendenti dall'esperienza, e costituisce il punto di partenza di un'indagine conoscitiva complementare alla scienza. I primi risultati di questa indagine risalgono alle due scuole che si formarono in Grecia alla morte di Socrate: la platonica e la megarica. La prima sollevò un lembo del grande velo che nasconde il mondo delle idee: velo che fu poi squarciato a fine Ottocento dalla teoria degli insiemi di Cantor, sulla quale torneremo a tempo debito. La seconda scuola coniò invece il motto: «Ciò che è possibile si realizza», che suggerisce la necessità di estendere l'attenzione dalla contingenza degli oggetti alla possibilità dei concetti.

La rilevanza di queste posizioni è evidente per la teologia, uno dei cui obiettivi cruciali è appunto la giustificazione dell'esistenza di un ente presente soltanto al puro pensiero. In Oriente i buddhisti Dignaga e Dharmakirti usarono la logica a fini teologici fin dai secoli VI e VII, assegnando a Buddha il titolo di Pramana-bhuta, «Logica incarnata», e proponendo prove dell'esistenza di un essere assoluto nel Pramana-vartika, «Compendio di logica». In Occidente la scolastica medioevale procedette su vie parallele, dal programmatico motto intelligo ut credam, «capisco per credere», di Abelardo, alle prove dell'esistenza di Dio fornite da Anselmo d'Aosta nel Proslogion e Tommaso d'Aquino nella Summa Theologiae. Altrettanto evidente è la rilevanza del logos per la matematica, che deve rendere conto dell'apparente oggettività degli enti astratti di cui essa tratta. L'autonomia e l'indipendenza che gli oggetti matematici manifestano nell'esperienza della quasi totalità degli addetti ai lavori, cosi come la sostanziale univocità e universalità di questa esperienza, sembrano infatti difficilmente spiegabili senza postulare un'esistenza indipendente di quegli stessi enti.

Non a caso questa posizione, detta platonismo, costituisce la filosofia della maggioranza silenziosa dei matematici. Meno evidente sembrerebbe invece essere la rilevanza del logos per la scienza, che a prima vista appare basata piú su induzioni a posteriori che su deduzioni a priori. Cosí non era, però, per la scienza greca, che al contrario di quella moderna sembrava interessarsi piú di come le cose dovrebbero essere che non di come sono effettivamente. Cosi non è neppure per una parte eccellente della scienza contemporanea, dalla relatività generale di Einstein alla meccanica quantistica relativistica di Dirac, i cui risultati epocali sono stati ottenuti con analisi puramente logiche, ispirate da considerazioni metafisiche sulla natura ed estetiche sulla matematica. E cosi non sarà, soprattutto, per le grandi unificazioni della scienza del futuro, che dovranno rendere conto di eventi relativi a livelli di energia dimostrabilmente inaccessibili a qualunque verifica sperimentale. Anche nella scienza il logos ha dunque una sua funzione e costituisce la sola speranza per la conoscenza del reale nel momento in cui vengono meno gli strumenti sensibili. Per quanto possa apparire irragionevole, l'efficacia della logica offre l'ultima ancora di salvezza al sapere, e si fonda sulla constatazione che tutto ciò che possiamo conoscere dell'universo deve comunque adattarsi al nostro pensiero e trovare spazio nella nostra testa, secondo il motto dell'Amleto: «Vivere nel guscio di

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