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Indice

VII     Prefazione di Gian Carlo Rota

        La matematica del Novecento

  3     Introduzione

  9     I. Fondamenti

 11 l.  Anni '20: gli insiemi
 15 2.  Anni '40: le strutture
 18 3.  Anni '60: le categorie
 22 4.  Anni '80: il Lambda Calcolo

 26     II. Matematica pura

 30 l.  Analisi: la misura di Lebesgue
        (1902)
 34 2.  Algebra: la classificazione dei
        campi di Steinitz (1910)
 37 3.  Topologia: il teorema del punto
        fisso di Brouwer (1910)
 40 4.  Teoria dei numeri: i numeri
        trascendenti di Gelfond (1929)
 44 5.  Logica: il teorema di
        incompletezza di Gödel (1931)
 47 6.  Calcolo variazionale: le superfici
        minimali di Douglas (1931)
 51 7.  Analisi: le distribuzioni di
        Schwartz (1945)
 56 8.  Topologia differenziale: le
        strutture esotiche di Milnor
        (1956)
 59 9.  Teoria dei modelli: i numeri
        iperreali di Robinson (1961)
 63 10. Teoria degli insiemi: il teorema
        di indipendenza di Cohen (1963)
 66 1l. Teoria delle singolarità: la
        classificazione delle catastrofi
        di Thom (1964)
 71 12. Algebra: la classificazione dei
        gruppi finiti di Gorenstein (1972)
 77 13. Topologia: la classfflcazione
        delle superfici tridimensionali di
        Thurston (1982)
 82 14. Teoria dei numeri: la
        dimostrazione di Wiles dell'ultimo
        teorema di Fermat (1995)
 87 15. Geometria discreta: la soluzione
        di Hales del problema di Keplero
        (1998)

 92     III. Matematica applicata

 98 l.  Cristallografia: i gruppi di
        simmetria di Bieberback (1910)
105 2.  Calcolo tensoriale: la relatività
        generale di Einstein (1915)
108 3.  Teoria dei giochi: il teorema
        minirnax di Von Neumann (1928)
112 4.  Analisi funzionale:
        l'assiomatizzazione della
        meccanica quantistica di
        Von Neumann (1932)
116 5.  Teoria delle probabilità:
        l'assiomatizzazione di Kolmogorov
        (1933)
120 6.  Teoria dell'ottimizzazione: il
        metodo del simplesso di Dantzig
        (1947)
122 7.  Teoria dell'equilibrio generale:
        il teorema di esistenza di Arrow e
        Debreu (1954)
126 8.  Teoria dei linguaggi formali: la
        classificazione di Chomsky (1957)
129 9.  Teoria dei sistemi dinamici: il
        teorema KAM (1962)
133 10. Teoria dei nodi: gli invarianti di
        Jones (1984)

139     IV. Matematica al calcolatore

145 l.  Teoria degli algoritmi: la
        caratterizzazione di Turing (1936)
148 2.  Intelligenza Artificiale:
        l'analisi degli scacchi di Shannon
        (1950)
151 3.  Teoria del caos: l'attrattore
        strano di Lorenz (1963)
153 4.  Dimostrazioni assistite: il
        teorema dei quattro colori di
        Appel e Haken (1976)
159 5.  Frattali: l'insieme di Mandelbrot
        (1980)

165     V. Problemi insoluti

166 l.  Aritmetica: il problema dei numeri
        perfetti (300 a.C.)
168 2.  Analisi complessa: l'ipotesi di
        Riemann (1859)
172 3.  Topologia algebrica: la congettura
        di Poincaré (1904)
175 4.  Teoria della complessità: il
        problema P=NP (1972)

181     Conclusione

185     Bibliografia

187     Indice dei nomi

 

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Il mondo descritto dalle scienze fisiche e naturali è concreto e percepibile: in prima approssimazione con i sensi, e in seconda approssimazione attraverso varie loro estensioni fornite dalla tecnologia. Il mondo descritto dalla matematica è invece un mondo astratto, costituito di idee percepibili soltanto con l'occhio della mente. Con la pratica, concetti astratti quali numeri e punti hanno acquistato comunque un'oggettività tale da permettere anche all'uomo comune di farsene immagini sostanzialmente concrete, proprio come se esse appartenessero a un mondo di oggetti tanto reali quanto quelli fisici.

La scienza moderna ha però minato l'ingenua visione del mondo esterno: la ricerca ha esteso i suoi confini alle enormi grandezze del cosmo e a quelle minime delle particelle, rendendo impossibile una percezione sensoriale diretta, o anche solo tecnologicamente mediata, degli oggetti galattici o atomici, e riducendoli effettivamente a immagini matematiche. Analogamente, anche la matematica moderna ha esteso i confini della sua ricerca alle rarefatte astrazioni delle strutture e alle minuziose analisi dei fondamenti, svincolandosi completamente dalla visualizzazione.

Scienza e matematica del secolo XX sono dunque accomunate dalla difficoltà di spiegare le loro conquiste in termini di concetti classici. Ma difficoltà non significa impossibilità: e sono spesso proprio le astrazioni superficiali e sterili a essere difficili da giustificare, mentre quelle profonde e feconde affondano le loro radici in problemi e intuizioni concrete. In altre parole, la buona astrazione non è mai fine a se stessa, un'arte per l'arte, ed è invece sempre una necessità, un'arte per l'uomo.

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Fondamenti

La matematica può venir considerata, a seconda della propria predisposizione filosofica e della propria esperienza personale, un'attività di scoperta o di invenzione.

Nel primo caso i concetti astratti di cui essa tratta si pensano dotati di una vera e propria esistenza nel mondo delle idee, che viene considerato tanto reale quanto il mondo fisico degli oggetti concreti. La scoperta richiede dunque un letterale sesto senso, che permetta di percepire gli oggetti astratti nella stessa maniera in cui i cinque sensi permettono di percepire gli oggetti concreti. E il problema fondamentale di questa percezione è ovviamente la sua verità esterna, cioè una sua adeguata corrispondenza con la supposta realtà.

Nel secondo caso le opere matematiche vengono invece considerate alla stregua di opere artistiche, che trattano di oggetti tanto immaginari quanto i protagonisti di un romanzo, o le raffigurazioni di una pittura. L'invenzione richiede dunque un letterale talento matematico, che permetta di costruire oggetti di fantasia nella stessa maniera del talento artistico. E il problema fondamentale delle produzioni di questo talento è la loro consistenza interna, cioè il poter concepire le varie parti come un tutto organico (in termini matematici: la mancanza di contraddizioni).

Scoperta o invenzione che sia, la matematica porta comunque alla luce oggetti e concetti che, al loro primo apparire, sono inusuali e non familiari. E ancora oggi alcuni aggettivi rivelano le reazioni di sorpresa o disagio che hanno accolto certi numeri al loro primo apparire: irrazionali, negativi, sordi, immaginari, complessi, trascendenti, ideali, surreali...

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La teoria degli insiemi fu il culmine ottocentesco della concezione riduzionista della matematica, che attraverso l'analisi logica ridusse appunto la geometria all'analisi, l'analisi all'aritmetica, e l'aritmetica alla logica. L'analisi logica della matematica soffre però delle stesse limitazioni della critica letteraria, e cioè di interessare gli specialisti ma non gli autori e i lettori: in questo caso, i logici ma non i matematici.

Agli occhi del matematico professionista, la teoria degli insiemi aveva (e ha) infatti due ovvi svantaggi. Anzitutto, come la teoria atomica non ha mutato la percezione degli oggetti macroscopici nella vita quotidiana, cosí la riduzione degli oggetti matematici agli insiemi non ha influito sulla pratica: per esempio, per fare i conti non si pensa ai numeri interi come classi di insiemi equipotenti.

Inoltre, se i paradossi hanno preoccupato i logici, essi hanno lasciato largamente indifferenti i matematici, che vedono in genere la inconsistenza come un problema non della matematica stessa, ma delle sue presentazioni formali: nel caso specifico, della teoria degli insiemi e non della sua pratica. La teoria di Zermelo e Fraenkel è dunque stata percepita come la complicata soluzione a un problema irrilevante.

In conclusione, la teoria degli insiemi sembra aver fornito al matematico professionista due soli contributi, entrambi essenziali, ma indipendenti da particolari assiomatizzazioni. Da un lato, una teoria degli insiemi infiniti: ossia, come disse David Hilbert, quel «paradiso creato da Cantor, da cui nessuno ci potrà scacciare». Dall'altro lato, un conveniente linguaggio per la formulazione dei concetti sempre piú astratti prodotti dalla

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