Copertina
Autore Ivars Peterson
Titolo Il turista matematico
SottotitoloUn viaggio nella moderna scienza dei numeri
EdizioneRizzoli, Milano, 1991 , pag. 311, dim. 136x217x24 mm , Isbn 88-17-84107-2
OriginaleThe Mathematical Tourist
EdizioneFreeman, New York, 1988
TraduttoreRiccardo Valla
Classe matematica
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Indice


Prefazione                        pag.   7

1. Esploratori di terre lontane         13
2. Chi è primo?                         31
3. Un giro nello spazio                 71
4. Visite da un'altra dimensione       115
5. Formiche nel labirinto              157
6. I draghi del caos                   195
7. Storie di vita                      231
8. In campo astratto                   275

Bibliografia                           287
Appendice:
    L'arte della matematica moderna.
    Catalogo della mostra              291
Fonti delle illustrazioni              295
Indice analitico                       297

 

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Pagina

PREFAZIONE


            «Curioso, sempre più curioso!»
                            esclamò Alice.

                            LEWIS CARROLL,
          Alice nel Paese delle Meraviglie



Anni fa, quando ero matricola all'università di Toronto frequentavo il corso di laurea in fisica e chimica (con grandi dosi di matematica in sovrappiù) c'erano dei momenti in cui temevo di essere caduto in una tana di coniglio e di trovarmi nel Paese della Confusione. Ricordo che più di una volta, in qualche aula sordida e buia, circondato da compagni insonnoliti e perplessi, cercavo invano di capire che cosa stesse succedendo. Il professore scriveva sulla lavagna un'equazione via l'altra e si esprimeva in uno strano idioma che, anche se assomigliava alla madrelingua comune, in realtà non lo era. Infatti, anche se riuscivo a riconoscere le singole parole, non capivo niente di quel che diceva. Mi ero completamente smarrito, come il più svagato dei turisti in terra straniera.

Quella sconcertante sensazione non mi ha mai lasciato del tutto. Oggi, come giornalista specializzato in argomenti di fisica e di matematica, provo spesso l'umiliante sensazione di essere un estraneo quando ascolto i ricercatori che presentano relazioni, nel corso degli incontri scientifici. Le parole le conosco, ma la lingua non è la mia. Suppongo che i miei studenti, negli otto anni in cui ho insegnato scienze e matematica nelle scuole medie superiori, abbiano spesso avuto la stessa impressione, a dispetto dei miei sforzi per trasmettere loro il divertimento e l'emozione che si potevano trovare in quegli argomenti.

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Pagina 15

In un'antica carta geografica - in una «mappa» - possono essere rappresentati sia luoghi noti sia ignoti. Nelle mappe degli antichi navigatori erano raffigurate non solo le città più importanti e le rotte più battute, ma anche territori misteriosi, contrassegnati da nomi esotici e illustrati con immagini di creature mitiche. Quando non si sapeva qualcosa, sopperiva la fantasia. Erano queste regioni ignote - con la loro promessa di avventura e i loro vaghi accenni a ricchezze favolose - ad attirare gli antichi esploratori.

Una cartina della matematica moderna rivelerebbe la stessa mescolanza di familiare, di esotico e di ignoto. L'algebra, la trigonometria e la geometria euclidea che si studiano alle scuole superiori corrispondono ad aree ormai colonizzate da tempo. Domini più recenti, come il calcolo infinitesimale, hanno già esteso la propria sfera di influenza nel territorio circostante, e i giovani arrivisti, come l'informatica, cercano di appropriarsi di parte dei loro vecchi territori. Ma al di là del terreno familiare si stendono le vaste regioni della matematica ancora da scoprire.

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Pagina 102

Nodi intricati

Per il matematico, lo studio dei nodi può diventare talmente aggrovigliato da rivaleggiare con la lenza del pescatore o con il gomitolo del cordino con cui cerchiamo di legare un pacco. Anzi, un pezzo di cordino annodato e con le estremità incollate tra loro è un eccellente modello fisico dell'entità astratta studiata dal matematico. Per lui, un nodo è una curva a una sola dimensione che si attorciglia nello spazio tridimensionale e poi, passa dietro una propria porzione per formare un anello. Come la circonferenza, la curva inizia e termina allo stesso punto e non ha auto-intersezioni (Fig. 3.18).

interessante osservare come l'«annodamento» non sia una proprietà della curva stessa. L'immaginaria formica che percorresse una galleria scavata all'interno della curva unidimensionale non sarebbe in grado di accorgersi della presenza del nodo. Il nodo riguarda la giacitura della curva nello spazio tridimensionale, ed è una caratteristica di questo. In uno spazio bidimensionale non c'è il posto per annodarlo, mentre in uno a quattro dimensioni il posto è troppo, e non c'è nodo che tenga.

Come la geometria delle bolle di sapone, così anche la teoria dei nodi rientra nella topologia, in cui si trascurano forma e dimensione e le uniche proprietà geometriche che contano sono quelle che non risentono dei piegamenti e delle deformazioni. di regola la flessibilità più assoluta: per il topologo, i nodi sono unicamente le possibili giaciture di un cerchio nello spazio tridimensionale.

Posti di fronte a un nodo, i matematici si rivolgono le stesse domande che potrebbe rivolgersi un boy scout davanti a un pezzo di corda annodata: «Che nodi sono? La curva (o la corda) è davvero annodata? Un secondo nodo può sciogliere il primo? Quando un nodo è equivalente a un altro?». L'ultima domanda ci rimanda al problema fondamentale della teoria dei nodi: come si possono distinguere tra loro due nodi diversi?

In generale, è difficile dire se un certo nodo è uguale a un altro, in apparenza diverso (Fig. 3.19). Una possibile soluzione consiste nel cercare di trasformare un nodo nell'altro con semplici torsioni e deformazioni, senza tagliare il cordino (o la curva). Ma in questo modo, anche dopo innumerevoli tentativi falliti, non si può escludere che siano uguali: può darsi che, semplicemente, non siano state eseguite le manipolazioni giuste.

Per classificare i nodi, i matematici ricorrono all'espediente di analizzare la loro ombra; una breve

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