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Indice

  7    Prefazione
       Problemi, 7
       Ricette che funzionano, 9
       Soluzioni soft, 11
       Questo libro, 13

       L'importanza di essere fuzzy


       Parte prima   Visioni confuse

 19 1. Classi dai contorni incerti
       La matematica delle quantità nebulose,19
       Insiemi, logica e algebre booleane, 20
       Insiemi fuzzy, 23
       Operazioni con gli insiemi fuzzy, 28
       Logica a valori multipli, 30
       Precisione, 31
       Cos'è la logica fuzzy?, 33

 36 2. Fuzzy è la risposta
       Un semplice problema di controllo, 36
       Origini del controllo fuzzy, 38
       Calcolare con le parole, 41
       Un atto equilibrato di controllo, 42
       La magia dell'inferenza fuzzy, 47
       La logica fuzzy va al mercato, 50
       Dati fuzzy, 54
       LIFE e l'ingegneria fuzzy, 56
       Speculazioni fuzzy, 58
       L'elicottero fuzzy, 59
       Dopo il LIFE, 61
       Prospettiva personale, 62

       Parte seconda Limiti

 67 3. I limiti del calcolo classico
       Un vecchio sogno diviene realtà, 67
       Non tutto è calcolabile, 69
       Turing e le sue macchine, 71
       Funzioni calcolabili, 74
       Funzioni non calcolabili, 76
       Un problema insolubile, 78
       La formica, il bulldozer e i limiti
            della calcolabilità, 79
       Gettiamo luce sulle funzioni non
            calcolabili, 80
       Complessità, 82
       Problemi di ottimizzazione, 83
       La dimensione del problema, 85
       Tempo polinomiale, 86
       I problemi di tipo NP, 90
       I problemi difficili facciano un passo
            avanti, per favore, 92
       NP-completezza, 93
       Soluzione dell'indovinello, 95

 96 4. I limiti del ragionamento formale
       In principio furono gli assiomi, 96
       Sondiamo le fondamenta, 97
       Linguaaggi formali, 99
       Matematica meccanica, 101
       Logica meccanica, 102
       I limiti del ragionamento formale, 103
       Da un problema insolubile a un altro
            (e ritorno), 105
       Le macchine non possono giocare a
            qualunque gioco, 106
       Un problema di colorazione, 107
       La vendetta del calcolatore, 110

       Parte terza Soluzioni naturali

115 5. Reti
       Che cos'è una rete neurale?, 115
       Dal neurone biologico a quello
            artificiale, 118
       Reti come algoritmi aperti, 121
       Riconoscimento di configurazioni, 122
       Uomini e virus, 124
       I cacciatori di virus, 126
       Neuroni artificiali e virus artificiali,
            127
       Alla ricerca del peso ideale, 129
       L'importanza di essere numerosi, 133
       Dinamica di rete, 134
       Il gusto del lampone, 138
       E il commesso viaggia, 141
       La via neurale all'ottimizzazione, 143

148 6. Soluzioni evolute
       Genetica, 148
       Popolazioni e selezione naturale, 150
       Un modello evolutivo, 152
       Lezioni e domande, 156
       Il contesto matematico, 158
       Ricerca spaziale, 159
       Schemi, 160
       Il dilemma del prigioniero, 162
       Giochiamo, 164
       L'evoluzione delle strategie, 166
       Insegniamo alle macchine a imparare, 167
       Quoziente d'intelligenza e adattamento,
            169
       Se non puoi risolverli, approssimali,
            171
       Trappole locali, 173
       Algoritmi genetici e il commesso
            viaggiatore, 175
       Il gioco dell'accoppiamento, 175
       Il ritorno di un'idea, 177
       Una soluzione genetica per il problema
            del commesso viaggiatore, 178

181    Postfazione

       Appendici

185 1. Inferenze fuzzy
       Inferenze fuzzy come applicazioni, 185
       Disgressione: deduzioni fuzzy e modus
            ponens, 186
       L'output fuzzy, 186
       Defuzzificazione, 187

189 2. Le funzioni sui numeri naturali non si
            possono numerare
       Ci sono più funzioni di numeri naturali
            di quante se ne possano scrivere in
            una lista infinita, 189

191 3. Il problema dell'arresto non si può
            risolvere
       Dimostriamo come derivare una
            contraddizione logica dall'ipotesi
            che il problema dell'arresto sia
            risolubile da una macchina di
            Turing, 191

193 4. Apprendimento con l'algoritmo di
            retropropagazione dell'errore


 

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Pagina 7

Problemi

Gli umani, e tutti gli altri esseri viventi, hanno dovuto affrontare problemi fino dagli albori della vita, cominciando con il più pressante di tutti: rimanere vivi. Nel corso del tempo i problemi sono diventati più vari e sofisticati, abbracciando tutte le attività umane, passando dai problemi semplici di tutti i giorni ad altri più complessi, più generali, che potenzialmente minacciano il benessere o perfino la sopravvivenza di milioni di persone. Ma se i problemi si trovano ovunque, altrettanto si può dire delle soluzioni, che troppo spesso si prendono per scontate. Gli stessi oganismi viventi, nella loro ricca diversità, sono soluzioni multiple al difficile problema di sopravvivere in un ambiente spesso ostile, che cambia in continuazione.

La qualità della vita nelle società avanzate è direttamente correlata all'ingegno e alle capacità dell'élite designata a risolvere i problemi: scienziati, ingegneri, dirigenti e altri esperti. Trovare le soluzioni, che non di rado sfuggono, spesso richiede l'uso della matematica e dei calcolatori, a volte in misura significativa. Questo non è vero solo nelle scienze e nell'ingegneria, ma talvolta anche in ambiti diversi, come l'amministrazione, l'economia, la medicina o le scienze sociali. Consideriamo per esempio le conseguenze del surriscaldamento globale, un problema che preoccupa molti oggigiorno, e che probabilmente non troverà una soluzione in breve tempo. Gli esperti hanno evidenziato un aumento di circa 0,5 gradi centigradi nella temperatura media del pianeta negli ultimi cento anni, e prevedono un ulteriore aumento fino a 3,5 gradi nell'anno 2100, se non si farà nulla per ridurre l'emissione dei gas responsabili dell'effetto serra, che trattengono il calore nell'atmosfera. Queste previsioni sono state ottenute mediante simulazioni al calcolatore basate su modelli matematici del nostro ecosistema. La matematica e i calcolatori in questo caso particolare non sono stati usati per risolvere un problema, ma semplicemente per avvertirci che esiste.

Viviamo nell'era dell'informazione, che sta rapidamente diventando l'era dell'eccesso di informazione. I problemi che sorgono dalla necessità di gestire grandi quantità di dati sarebbero insolubili senza l'aiuto della matematica e dell'informatica. L'informazione si può immagazzinare, elaborare e successivamente recuperare solo se è codificata in qualche modo. Prima che il calcolatore possa mostrare una pagina di testo come quella che state leggendo, per esempio, le lettere dell'alfabeto, i segni di punteggiatura, e così via, devono venire codificati come stringhe di cifre binarie. Nel campo della Tv ad alta risoluzione l'enorme ammontare di informazione richiede che la codifica sia il più compatta possibile. Le tecniche relative, cioè quella di compressione dei dati, sono all'inizio concetti matematici, poi diventano segnali elettromagnetici e alla fine un'immagine sullo schermo televisivo. Lo studio e la progettazione dei codici è un ramo della matematica il cui scopo generale è trovare soluzioni a un problema posto da Claude Shannon, il padre della teoria dell'informazione: «Il problema fondamentale della comunicazione è quello di riprodurre in un certo punto, esattamente o approssimativamente, un messaggio selezionato in un altro punto».

I calcolatori e la matematica aiutano anche ad assicurare che l'informazione trasmessa sulle linee telefoniche, sulle reti informatiche, o altri canali di comunicazione, non venga intercettata. Un modo di proteggere un messaggio da occhi e orecchie indiscreti è quello di codificarlo in modo che (si spera) solo il destinatario riesca a decifrarlo. Il problema di progettare procedure sicure di codifica e decodifica dei messaggi, così come il problema di scoprire le procedure degli altri, appartiene al campo della crittografia, in cui si fa largo uso di idee e tecniche matematiche. Come per molti altri problemi, anche questo ha diverse possibili soluzioni, alcune migliori di altre (dove «migliori» può significare più facili da usare, o più difficili da scoprire). Le operazioni di codifica e decodifica spesso richiedono enormi calcoli molto complessi, la cui esecuzione in modo efficiente e veloce rende essenziale l'uso dei calcolatori. Una volta che il messaggio è stato codificato, la sua segretezza è spesso legata all'impossibilità pratica di risolvere un indovinello matematico: trovare i fattori primi di numeri molto grandi (numeri con più di 200 cifre, per intenderci).

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Pagina 23

Ciò che caratterizza un insieme come tale è il fatto che ogni dato oggetto necessariamente ha la proprietà di essere o non essere nell'insieme. Questa dicotomia à la Amleto funziona benissimo per gli oggetti matematici come i numeri, ma quando cerchiamo di applicarla al mondo reale ci rendiamo conto che ci sono dei problemi. Certamente, alcuni oggetti si possono classificare senza esitazione: un cane è un animale, e una banana no. Il pianista Arthur Rubinstein era sicuramente anziano quando morì nel 1982 (a novantacinque anni), e il bambino prodigio Mozart certamente non lo era quando compose la sua prima sonata (a sette anni). Ma il pittoresco Picasso era anziano o no quando dipinse il ritratto di Dora Maar a cinauantasei anni? Le spugne sono animali o no?

La classe degli animali acquatici e la classe delle persone anziane non sono insiemi nel senso usuale del termine, perché né «animale acquatico» né «persona anziana» sono concetti ben definiti. L'idea di Zadeh per trattare queste classi mal definite fu di permettere al grado di appartenenza di prendere qualunque valore tra 0 e 1, e chiamò queste classi «insiemi fuzzy». Zadeh si aspettava che questo nuovo concetto, che generalizzava quello di insieme ordinario, avesse applicazioni nei campi del riconoscimento delle immagini e della comunicazione; il futuro gli avrebbe dato ragione, oltre ogni sua più rosea aspettativa. Egli aveva ampiamente sottovalutato il potenziale della sua creazione.

La frontiera di un insieme fuzzy, al contrario di quella di un insieme ordinario, è... beh... fuzzy. E gli insiemi fuzzy, che permettono un'appartenenza parziale (cioè è possibile che un oggetto non sia né completamente nell'insieme né completamente fuori), si adattano meglio di quelli ordinari all'ambiguità del linguaggio umano. Prendiamo per esempio la classe delle persone anziane. A cinque anni, una persona è sicuramente non anziana (e il suo grado di appartenenza all'insieme sarà 0), mentre a novantacinque si può dire certamente anziana (e avrà grado di appartenenza 1). Ma tra cinque e novantacinque anni c'è una zona grigia, rappresentata numericamente da gradi di appartenenza maggiori di 0 e minori di l. Per esempio, una persona di quarant'anni potrà avere grado di appartenenza 0,30 nell'insieme fuzzy delle persone anziane (intuitivamente: dire che questa persona è anziana è un'affermazione giusta nella misura del 30 per cento). A cinquantotto anni il grado di appartenenza sarà magari arrivato a 0,70 o 0,75, e sarà arrivato a 1 quando la persona avrà ottantacinque anni.

Il punto chiave qui è che non c'è una frontiera ben definita, non c'è un'età magica g raggiunta la quale si diventa anziani, mentre l'anno prima non lo si era. Questa situazione non è dovuta alla nostra incompetenza o alla nostra inabilità di calcolare g; è dovuta al fatto che il concetto di «anziano» non si può esprimere con una definizione precisa come nel caso di «numero primo» o «vincitore di un premio Nobel». Naturalmente potremmo sempre asserire che «anziano» significa «di età maggiore o uguale a sessantacinque anni»; una tale definizione può avere qualche applicazione pratica, ma l'insieme che definisce è strutturalmente diverso dall'insieme delle persone anziane: il primo essendo un insieme ordinario, il secondo no.

Un altro esempio di insieme fuzzy è la classe P delle persone povere. Vediamo perché considerare P come un insieme ordinario conduce a un assurdo. Se una persona con reddito annuo X (per esempio duemila dollari) è un elemento di P, allora anche una persona con reddito X + 1 sarà elemento di P (un dollaro all'anno non può certo fare differenza). Per la stessa ragione anche quelli con reddito X + 2, X + 3, e così via saranno in P, cioè saranno «poveri». Ma allora, ripetendo il ragionamento un numero sufficiente di volte, alla fine arriveremo alla conclusione che un individuo che guadagna centomila dollari l'anno è povero! Questo paradosso si può risolvere facendo l'ipotesi che esista una «soglia di povertà», così cara agli esperti di statistica del governo, infatti in questo caso il singolo dollaro che ci fa superare la soglia fa tutta la differenza (il che conferma ciò che il buon senso suggerisce: la nozione ufficiale di «povero» è molto diversa da quela naturale).

È importante rendersi conto che il concetto di insieme fuzzy non è di natura statistica, e c'è differenza tra il fuzzy e la casualità. L'essere fuzzy, nella definizione di Zadeh, rappresenta la vaghezza dovuta all'intuizione umana, non la probabilità. La probabilità ha a che fare con il verificarsi di eventi, e quando abbiamo tutti i dati un certo evento o si è verificato o no. La somma dei due dadi che abbiamo tirato fa sette oppure no; quando la roulette si ferma la pallina è in una casella nera oppure no. Ma domande come: il discorso è stato lungo? l'oratore era basso? la sala era grande? non hanno sempre una risposta che è o sì o no, anche quando si hanno a disposizione tutti i dati (la lunghezza del discorso, l'altezza dell'oratore e le dimensioni della stanza).

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I consumatori in genere danno la colpa a se stessi quando non riescono a usare le macchine, dai videoregistratori ai forni elettrici ai calcolatori. Ma è veramente colpa loro se non riescono a pensare come una macchina (un'abílità che molti progettisti di macchinari danno per scontata)? Uno degli obiettivi generali della logica fuzzy è cercare di costruire macchine che ragionano più come noi, così che non dobbiamo essere noi a pensare come macchine.

L'espressione «logica fuzzy» sembra una contraddizione in termini, infatti dire a qualcuno che la sua logica è «fuzzy» suona più come un insulto che come un complimento.

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