TecaLibri: Alexei Sossinsky: Nodi

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Indice


  7    Premessa

       Nodi

 21 1. Atomi e nodi

    Tait, Kirkman e le prime tavole dei
        nodi, 23
    Classificazione dei nodi dal punto di
        vista matematico, 27
    Digressione: nodi selvaggi, intuizione
        spaziale e cecità, 28
    Fallimento della teoria di Thomson, 31

 33 2. Nodi intrecciati

    Chiusura di una treccia, 35
    L'algoritmo di trecciatura di Vogel,37
    Il gruppo delle trecce, 43
    Classificazione delle trecce, 47
    È possibile classificare i nodi per
        mezzo delle trecce?, 48

 49 3. Diagrammì piani dei nodi

    Proiezioni generiche e proiezioni
        catastrofiche, 51
    Sufficienza dei movimenti di
        Reidemeister, 54
    Teorema di Reidemeister e
        classificazione dei nodi, 54
    Che cosa resta del teorema di
        Reidemeister?, 57

 59 4. L'aritmetica dei nodi

    Commutatività della composizione dei
        nodi, 61
    Digressione: il pesce dal nodo
        scivoloso, 62
    Un nodo può annullarne un altro?, 63
    I nodi primi, 66
    Unicità della scomposizione in nodi
        primi, 67

 69 5. Chirurgia e invarianti

    Digressione: molecole annodate, DNA e
        topo-isomerasi, 71
    Gli invarianti nella teoria dei nodi,
        74
    Il polinomio di Conway, 76
    Esempi di calcolo dei polinomi, 77
    Discussione dei risultati, 78
    Il polinomio Homfly, 80

 82 6. Polinomio di Jones e modelli di
       spin

    Modelli statistici, 82
    Modello di Kauffman, 84
    Proprietà del bracket di Kauffman, 87
    Invarianza del bracket di Kauffman, 89
    Piccola digressione personale, 90
    Invarianza del bracket (segue), 91
    Nuova piccola digressione personale,91
    Il trucco di Kauffman e il polinomio
        di Jones, 92
    Nuova digressione sui menhir, 93
    Proprietà del polinomio di Jones, 94

 96 7. Invarianti di ordine finito

    Digressione: sociologia matematica,100
    Breve descrizione della teoria
        generale, 101
    Diagrammi di Gauss e teorema di
        Kontsevic, 105
    Conclusione: a che cosa servono gli
        invarianti di Vasil'ev?, 108

110 8. I nodi e la fisica

    Coincidenze, 111
    Digressione: coincidenze e struttura
        matematica, 113
    Modelli statistici e polinomi dei
        nodi, 114
    Bracket di Kauffman e campi
        quantistici, 116
    I gruppi quantistici come macchine per
        fabbricare invarianti, 118
    Gli invarianti di Vasil'ev e la
        fisica, 119
    Conclusione: la storia non è finita,
        121

123 Bibliografia

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Premessa

Nodo della cravatta, nodo di Gordio, nodo alla gola, nodi che vengono al pettine... Oggetti familiari, simboli di complessità o di maleficio, i nodi sono stati a lungo ignorati dai matematici - non so bene per quale motivo. Un primo timido tentativo da parte di Vandermonde, alla fine del Settecento, restò senza seguito. Si dovette attendere la fine del Novecento perché i matematici iniziassero a prenderli sul serio in considerazione. Tuttavia, fino alla metà degli anni Ottanta, la teoria dei nodi era considerata semplicemente uno dei rami della topologia: senza dubbio un ramo importante, ma destinato a suscitare l'interesse di poche persone all'infuori di una ristretta cerchia di specialisti (soprattutto tedeschi e americani).

Oggi le cose sono completamente cambiate. I nodi, o più precisamente la teoria matematica dei nodi, interessano biologi, chimici e fisici. I nodi sono di moda. I nouveaux philosophes (non più tanto nuovi) e i postmodernisti ormai ne parlano in televisione, con la loro solita incompetenza e faccia tosta. Espressioni come «gruppi quantistici» e «invarianti polinomiali» si sentono ormai utilizzare, a proposito o a sproposito, da individui di dubbia preparazione scientifica. Da dove proviene tutto questo interesse? Si tratta di una moda passeggera o del fragoroso avvio di una teoria importante quanto la relatività o la meccanica quantistica?

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Capitolo 1
Atomi e nodi
Lord Kelvin, 1860

Nel 1860 il fisico inglese William Thomson (oggi più noto con il nome di Lord Kelvin, ma all'epoca non ancora adorno del titolo nobiliare) medita sui problemi fondamentali legati alla struttura della materia. I suoi colleghi sono divisi in due fazioni nemiche: da una parte quelli che sostengono la cosiddetta teoria corpuscolare, secondo la quale la materia è costituita di atomi, piccoli corpuscoli rigidi che occupano una posizione precisa nello spazio; dall'altra quelli che vedono la materia come sovrapposizione di onde sparpagliate nello spazio-tempo. Ciascuna delle due teorie fornisce spiegazioni convincenti per alcuni fenomeni, ma si rivela inadeguata per altri. Thomson è alla ricerca di una sintesi.

E la trova. La materia, secondo la sua ipotesi, è sì costituita di atomi, tuttavia tali vortex atoms («atomi vortice», o «atomi mulinello») non sarebbero oggetti puntiformi bensì... piccoli nodi (Thomson 1867). Un atomo sarebbe dunque una specie di onda che, anziché propagarsi in tutte le direzioni, si dipana in uno stretto fascio fortemente curvato che torna su se stesso, come un serpente che si morde la coda. Il serpente può però attorcigliarsi in modo piuttosto complicato prima di mordersi, formando così un nodo (fig. 1.1). Ed è proprio il tipo di nodo ciò che determina le proprietà fisico-chimiche dell'atomo.

In quest'ottica, le molecole sarebbero costituite da diversi atomi-vortice allacciati tra loro, sarebbero cioè descritte da quelli che i matematici chiamano link: un gruppo di curve nello spazio, che possono sia annodarsi separatamente sia intrecciarsi tra loro.

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Classificazione dei nodi dal punto di vista matematico

Definiamo il problema in termini precisi, abbastanza rigorosi da soddisfare i matematici (il lettore poco portato al rigore scientifico può saltare questo paragrafo, dando solo un'occhiata alle figure). Innanzitutto, occorre una definizione matematica del concetto stesso di nodo. Definiamo un nodo, o più esattamente la rappresentazione di un nodo, come una linea spezzata chiusa nello spazio (fig.1.7a). Un nodo vero e proprio è una classe di equivalenza di rappresentazioni, dove la relazione di equivalenza è l'«isotopia», di cui ora diamo la definizione. Diremo che si effettua una «isotopia elementare» sia attaccando un triangolo (ad esempio il triangolo ABC in fig.1.7b) a un segmento ([AB]) della linea spezzata e sostituendo a tale segmento gli altri due lati del triangolo ([AC] U [CB]), sia facendo l'operazione inversa; chiaramente, il triangolo non deve avere punti in comune con la spezzata all'infuori del lato considerato. In generale, chiameremo «isotopia» una qualunque successione di isotopie elementari (fig.1.7c).

È chiaro che questa definizione corrisponde alla nostra idea intuitiva di nodo come astrazione di una cordicella dalle estremità incollate: l'isotopia permette di deformare il nodo come si farebbe con una cordicella reale (senza romperla).

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Fallimento della teoria di Thomson

Mentre i fisici europei discutono dei pregi della teoria di Thomson e Tait compila le sue tavole dei nodi, un altro scienziato quasi sconosciuto, che lavora in un immenso paese sottosviluppato, medita, come Thomson e Tait, sulla struttura della materia. Anche lui cerca di stilare tavole degli atomi ma, essendo poco portato per le considerazioni geometriche, si basa su relazioni aritmetiche tra i diversi parametri degli elementi chimici.

E fa una scoperta inaspettata: esistono delle relazioni di periodicità molto semplici, e tuttavia fino a quel momento passate inosservate, tra i suddetti parametri. Pubblica quindi quella che ora viene chiamata convenzionalmente la tavola periodica degli elementi.

[...]