Copertina
Autore Antonio Sparzani
Titolo Relatività, quante storie
SottotitoloUn percorso scientifico-letterario tra relativo e assoluto
EdizioneBollati Boringhieri, Torino, 2003, Saggi Scienze , pag. 322, dim. 146x220x18 mm , Isbn 88-339-1457-7
LettoreRenato di Stefano, 2003
Classe storia della scienza , storia letteraria , fisica , matematica
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Indice

  9    Dichiarazione d'intenti, ovvero brevi avvertenze per
       il lettore
 11    Avvertenza riguardante le citazioni contenute in
       questo libro
 12    Ringraziamenti

       Relatività, quante storie


 15 1. La prima relatività

       1.1. Guardare qualcosa, 15
       1.2. La prospettiva, 18
       1.3. Continuità, 21
       1.4. Un'invarianza elementare, 36
       1.5. Relazioni di equivalenza, 38
       1.6. La costruzione degli oggetti, 40
       1.7. l gruppi e la costruzione degli oggetti, 44
       1.8. Il postulato della conoscenza, 49

 51    Intermezzo I. La relatività: a proposito della parola

       I.1. Nel latino, 51
       I.2. Da Aristotele a Bono Giamboni, 52
       I.3. Il padre Dante, 54
       I.4. Il termine entra anche nel linguaggio
            scientifico: Bruno e Galileo, 56
       I.5. Lo sviluppo seguente, 58

 60 2. L'obiezione scettica

       2.1. Un buon inizio, 61
       2.2. Le vie all'imperturbabilità, 62
       2.3. Il «messo vicino a qualcosa», 63
       2.4. Sempre meno relatività, 67
       2.5. La sfiducia nei sensi, 69
       2.6. Le insidie della ragione, 74

 82    Intermezzo II. La simmetria: a proposito della parola


 88 3. Lo spazio e il tempo sono uguali dappertutto. O no?

       3.1. Come si fa a distinguere i punti dello spazio?,
            88
       3.2. L'identità degli indiscernibili, 91
       3.3. Omogeneità e isotropia, qual è il soggetto?, 93
       3.4. Ma uguali come?, 95
       3.5. Simmetrie e interazioni, 96
       3.6. Il problema dei due corpi, 99
       3.7. C'è simmetria e simmetria, 105
       3.8. Simmetrie e conservazioni, 109
       3.9. Un allargamento di programma, 111

112    Intermezzo III. Un nuovo ruolo per il moto


116 4. La fantasia della nave

       4.1. Lucrezio e Virgilio, 117
       4.2. Sesto Empirico, ovvero come star fermi
            camminando su una nave, 119
       4.3. I fisici di Parigi, 120
       4.4. Un tonfo nel fiume da fermi, 122
       4.5. Bruno e Galileo, 123
       4.6. Un acuto e versatile giovane, 131
       4.7. Carrozze, vaporiere e chiatte, 134

138    Intermezzo IV. Le virtù dell'inerzia

       IV.1. L'inerzia dal linguaggio naturale a quello
             scientifico, 139

144 5. Il moto «è come s'e' non fusse»...

       5.1. Husserl e il copernicanesimo, 145
       5.2. La nuova invarianza, 147
       5.3. I sistemi di riferimento inerziali, 148
       5.4. E qui che nasce lo spazio-tempo, 153
       5.5. Il gruppo di Galileo, 155
       5.6. La relatività galileiana va oltre Galileo, 157

160    Intermezzo V. Il sottile etere

       V.1. Aristotele, 161
       V.2. Cicerone e Virgilio, 162
       V.3. Il Medioevo, 163
       V.4. L'etere della rivoluzione scientifica, 165
       V.5. Huygens e Newton, 167
       V.6. Il punto di vista di Kant, 173
       V.7. L'etere porta eternità e armonia, 175
       V.8. L'etere nell'Ottocento, 178

181 6. La relatività del XX secolo

       6.1. La sfera dell'esperienza immediata, 181
       6.2. Lo schema della crisi, 183
       6.3. Il grande peso della meccanica, 187
       6.4. Elementi di crisi, 191
       6.5. Le misure di Michelson, 192
       6.6. Bisogna scegliere, 196
       6.7. La critica di Einstein, 198
       6.8. Le mitiche trasformazioni di Lorentz, 206
       6.9. Storia di una particella che poi erano due, 212
       6.10. L'etere perde consistenza, 217
       6.11. Un po' di contesto, 219

231    Intermezzo VI. 1872


241 7. Un fraintendimento relativo


       7.1. Dalla relatività speciale a quella generale, 241
       7.2. Due Gedankenexperimente interessanti, 243
       7.3. Relatività: che nome mal scelto!, 246
       7.4. Le relatività della letteratura, 247
       7.5. Un'ardita generalizzazione del programma di
            Erlangen, 265

273 Appendice 0. La paura delle formule
280 Appendice 1. L'insieme R dei numeri reali
288 Appendice 2. L'idea di limite
298 Appendice 3. Come e qualmente Achille raggiunge la
                 tartaruga
303 Riferimenti bibliografici
317 Indice dei nomi

 

 

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Pagina 88

Capitolo 3

Lo spazio e il tempo sono uguali dappertutto. O no?


                          In cose assolutamente indifferenti
                                     non v'è luogo a scelta.

                  W. Leibniz, Quarta lettera a Samuel Clarke

Alcuni fili sono stati gettati nei capitoli precedenti a proposito delle implicazioni di quanto siamo venuti dicendo per la struttura dello spazio e del tempo. Il discorso che si vuol qui portare avanti non è prevalentemente lineare, e i fili, che poi non sono neppure fili, si rincorrono mostrando talora molteplici direzioni e connessioni. Confidiamo in un lettore che sfogli questo libro con qualche disordinata procedura e vada avanti e indietro a suo, speriamo, piacere.

3.1. Come si fa a distinguere i punti dello spazio?

Proseguendo nel testardo cammino di cercar ponti e intersezioni tra la letteratura scientifica e la letteratura tout-court, giustapponiamo alcuni testi che, da parti molto diverse, parlano della possibilità di questa operazione del distinguere i punti. La prima intuizione di questa difficoltà del distinguere nell'uniforme la troviamo nella Divina Commedia, quando, nel ventisettesimo canto del Paradiso, Dante sale dal cielo delle Stelle Fisse, l'ottavo, al nono, il Cristallino, o Primo Mobile; questo, a differenza del precedente che è popolato di stelle (poco più di un migliaio, secondo Dante), ne è invece completamente privo; è altresì pieno d'etere (cfr. Par., XXVII, v. 70) e quindi del tutto uniforme, ancorché «velocissimo».

        E la virtù che lo sguardo m'indulse,
        del bel nido di Leda mi divelse,
        e nel ciel velocissimo m'impulse.

        Le parti sue vivissime ed eccelse
        sì uniforme son, ch'i' non so dire
        qual Beatrice per loco mi scelse.

        (Par., XXVII, vv. 97-102)

Lo sguardo straordinario di Beatrice solleva dunque Dante dal luogo dov'era, nella costellazione dei Gemelli (Castore e Polluce, nati da Leda), fino al Primo Mobile, sulla cui velocità Dante si sofferma anche nel Convivio (II, 3): il Primo Mobile è completamente «diafano» e trasparente, esso non contiene nulla di materiale, e la sua presenza è necessaria, come spiega Dante nel Convivio (II, 14), per dar ragione del ciclo di ventiquattr'ore che scandisce il quotidiano sorgere e tramontare di Sole, pianeti e stelle. Quel che più qui interessa è ovviamente che esso è completamente indifferenziato, e non si può quindi in esso distinguere un luogo dall'altro; si potrebbe obiettare che questa sua totale uniformità dovrebbe impedire altresì di rilevarne alcun moto; quest'obiezione non sfiora però Dante, che ripete nel Convivio che il suo moto è così veloce da essere incomprensibile, anche perché questo moto (che ha l'effetto detto di produrre l'alternanza del giorno e della notte) ha una precisa causa: il grande desiderio che questo cielo, o meglio le Intelligenze che lo muovono, hanno di ciò che le circonda, ovvero dell'Empireo, praticamente coincidente con l'abbraccio di Dio stesso.

Lo stesso problema pone, ma con una diversa soluzione, il racconto Un segno nello spazio di Calvino, che appartiene a quella parte delle Cosmicomiche che riguarda le avventure del palindromo, e assai longevo, Qfwfq. Qfwfq infatti intende far qualcosa per rompere la simmetria e l'uniformità che sembrano inerenti ai punti dello spazio.

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Pagina 148

5.3. I sistemi di riferimento inerziali

Tutto il problema, che va finalmente affrontato, e su cui abbiamo sorvolato nel capitolo 3, è quello di dire quali sono i sistemi di riferimento nei quali valgono le affermazioni che facciamo sulla realtà, in cui sono vere cioè le leggi della fisica che scriviamo. Detto così sembra facile, ma se ci si mette a pensare con qualche pignoleria in più ci si accorge che è meglio star molto attenti a non cadere in deliziosi ma viziosi circoli.

Esempi molto semplici ci fanno capire come ci sian delle cose che vanno chiarite all'inizio se non si vuol correre il rischio di fare affermazioni del tutto vuote di significato. Prendiamo un sasso lasciato cadere dalla nostra mano al suolo. Dal nostro punto di osservazione, sistema di riferimento (SR) di chi osserva, il sasso esegue un movimento (uniformemente accelerato) nel quale muta continuamente (aumenta) la propria velocità: occorre dunque introdurre una causa che spieghi questo continuo mutamento.

Ma se considero il punto d'osservazione solidale col sasso, SR del sasso, il sasso sta fermo, nessuna delle sue caratteristiche (posizione, velocità) muta e non c'è bisogno d'invocare alcuna causa che induca tale mutamento: da questo SR naturalmente vedrò la Terra avvicinarsi a velocità crescente, e questo richiederà spiegazione.

Se dalla Terra guardiamo un satellite artificiale ruotare intorno a essa, di nuovo consideriamo che la velocità del satellite cambia continuamente, quanto meno in direzione e verso, e dunque cerchiamo una spiegazione di ciò, ammesso che abbiamo smesso di credere che il moto naturale sia quello circolare (cfr. l'Intermezzo III). Ma gli astronauti che sono nel satellite, che - beninteso - sta viaggiando a razzi spenti, se avessero perso memoria della loro storia passata e del loro lancio, non avrebbero modo di pensare di essere soggetti a qualche forza: guardando dall'oblò vedrebbero Terra, Luna e altri corpi celesti ruotare intorno a loro, ma nel loro ambiente tutto galleggerebbe nell'aria, tutto fluttuerebbe, tutto sembrerebbe libero da forze; al massimo, se fossero dotati di strumenti di misura estremamente precisi, potrebbero accorgersi della (debolissima) attrazione gravitazionale che si esercita tra i corpi presenti nel satellite. Per poter scegliere davvero una classe di sistemi di riferimento da ritenere, provvisoriamente, privilegiati, occorre fare delle ipotesi già abbastanza impegnative sulla natura delle leggi che regolano il moto dei corpi ovvero sul come questo dipenda dalle cause che lo producono.

In realtà la scelta della classe dei SR che vogliamo in qualche modo ritenere privilegiati deriva da un'altra scelta, già implicita in quel che abbiamo appena finito di dire. Quando abbiamo affermato che occorre trovare una causa per il cambiamento di velocità, abbiamo già operato una scelta molto forte; avremmo potuto affermare: occorre trovare una causa per il cambiamento di posizione. La fisica di Aristotele richiedeva proprio questo, mentre, come già s'è accennato nel capitolo 3, la fisica newtoniana ritiene di dover trovare una causa solo se c'è un mutamento di velocità; e abbiamo già sottolineato che il significato più importante della seconda legge della dinamica è proprio questo, che le cause del moto (le forze) determinano le accelerazioni dei corpi, cioè appunto le loro variazioni di velocità. Il moto con velocità costante, cioè il moto rettilineo uniforme non è da spiegare, è frutto della pura inerzia: sul corpo nulla agisce e dunque esso mantiene il suo stato - specificando bene che con «stato» si intende stato di moto rettilineo uniforme, perché per esempio uno stato con accelerazione costante non verrebbe affatto mantenuto in assenza di forze.

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Pagina 157

5.6. La relatività galileiana va oltre Galileo
                        E insisto una volta di più perché il
                       lettore scandagli i propri pensieri e
                        non lasci che le parole lo ingannino.

                      George Berkeley, Trattato sui princìpi
                                      della conoscenza umana

L'acquisizione della consapevolezza che tutti i sistemi di riferimento inerziali sono uguali, meglio, equivalenti, dal punto di vista della conoscenza della realtà offerta dalla meccanica classica, non passa facilmente dal livello formale-teorico al livello di dato di coscienza. Galileo, che anche dal punto di vista formale era ancora lontano da questa consapevolezza, dice che il moto «è come s'e' non fusse», non che «non è», o che dipende dal sistema di riferimento usato.

E scrive, più di un secolo e mezzo dopo, Goethe:

Quel che tanto ci sconcerta, se vogliamo riconoscere l'idea nell'apparenza, è che essa spesso e volentieri contraddice i nostri sensi: il sistema copernicano si fonda su un'idea che era difficile da concepire e che ancora quotidianamente contraddice i nostri sensi. Non facciamo che ripetere quel che non riconosciamo e non comprendiamo. (ed. 1952, p. 438)

Goethe, che non sottovaluta certo la rivoluzione copernicana, che in altro luogo riconosce come quella che ha avuto l'influenza maggiore sullo spirito umano, esprime l'ovvio riconoscimento che il punto di vista geocentrico è il più naturale e immediato: il Sole sorge a oriente e tramonta a occidente, e qualsiasi altra affermazione contraddice la percezione immediata della visione del Sole che si leva dall'orizzonte e che vi si rituffa, dalla parte opposta, qualche ora dopo.

Il punto di vista davvero nuovo che occorre un po' alla volta - e con fatica - interiorizzare per abbracciare la relatività connaturata con la meccanica classica, è che non ha senso in alcun caso dire che qualcosa si muove o è in quiete senza riferirsi a qualcos'altro che sia, per convenuta definizione, assunto come fermo, senza cioè riferirsi a un SR: quando dico «il Sole sta fermo», l'affermazione non è né vera né falsa, è semplicemente priva di senso; se dico invece «rispetto a un SR fissato sul Sole il Sole è fermo», l'affermazione è magari un po' ovvia, ma certamente dotata di senso e vera.

Così, l'affermazione «la Terra si muove (di un certo tipo di moto, ellittico ecc.) rispetto al Sole», è dotata di senso e vera; e analogamente l'affermazione «il Sole si muove (di un certo tipo di moto, ellittico ecc.) rispetto alla Terra», è ancora dotata di senso e vera. Questo forse può stupire: come se una delle conseguenze della rivoluzione scientifica, che prese concretamente le mosse proprio dall'istanza eliocentrica di Copernico in opposizione a quella geocentrica di Tolomeo, fosse che le due affermazioni sono in realtà egualmente vere, pur di riferirle all'opportuno punto di vista (SR). In realtà, ironia della storia, è proprio un po' così, anche se con una postilla molto significativa, che rende conto della differenza oggettiva esistente tra i due rispettivi SR. La differenza è semplicemente che il SR fissato sul Sole è un sistema di riferimento inerziale, mentre quello centrato sulla Terra non lo è, o, meglio ancora, quello centrato sul Sole è molto «più inerziale» di quello centrato sulla Terra, e ciò sostanzialmente non per un qualche privilegio (letteralmente) astrale, ma semplicemente perché il Sole ha una massa molto ma molto maggiore di quella della Terra (più di trecentomila volte); di nuovo dunque una questione di approssimazione: infatti, se volessimo fare i pignoli, anche considerando il solo sistema Terra-Sole, e prescindendo quindi dalla presenza di tutto il resto del sistema solare, ci accorgeremmo che il centro del Sole non costituisce l'origine di un SRI, ma questo ruolo importante è ricoperto da un punto situato sulla retta congiungente Terra-Sole, distante dal centro del Sole circa 450 km, e collocato dunque sotto la sua superficie (il raggio del Sole e dell'ordine di 700000 km). Ecco dunque dove sta tutto il senso della millenaria disputa geocentrico-eliocentrica; dal punto di vista dei puri fenomeni astronomici, inquadrati nell'ambito della meccanica classica, si tratta del fatto che un SR centrato (approssimativamente) sul Sole è migliore dell'altro, quello centrato sulla Terra, perché esso è inerziale e quindi gode di alcuni privilegi, di semplicità ed eleganza formale delle leggi della fisica scritte in esso rispetto a quelle che venissero scritte in un altro SR non inerziale (come quello della Terra).

Come si vede, alla luce di queste riflessioni, poco senso ha chiedersi se allora, in verità, è il Sole che gira attorno alla Terra o questa che gira attorno al Sole: la fisica per sé non ha nulla da dire a questo riguardo, la fisica insegna a quali leggi sono soggette le distanze tra i corpi che si muovono - relativamente - nello spazio.

Mentre, come s'è già osservato, l'atteggiamento di Galileo, riassunto spesso in quell'«eppur si muove!» forse mai pronunciato e pur così significativo della sua posizione, non è dunque affatto relativistico, ironia vuole che lo sia molto di più quello di coloro che non vollero comunque accreditare di verità assoluta un'opinione all'epoca così eterodossa come quella eliocentrica; nello stesso spirito con cui i cardinali Bellarmino e Barberini suggerirono per tempo che se Galileo avesse parlato «come matematico» o «in via di pura ipotesi» non avrebbe avuto a subire guaio alcuno.

╚ appena il caso di menzionare il fatto che la rivoluzione copernicana non è certo consistita prevalentemente nell'ipotesi eliocentrica piuttosto che geocentrica, ma che tutto il movimento di pensiero che ha caratterizzato i due secoli che hanno seguito la proposta di Copernico, ha portato avanti istanze che altro avevano da dire sull'emancipazione dell'uomo e sul suo ruolo nel mondo.

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Pagina 196

6.6. Bisogna scegliere
                    L'arte più grande nella vita del mondo e
             della cultura consiste nel saper trasformare un
               problema in un postulato; così ce la si cava.

                      Lettera di J. W. Goethe a C. F. Zelter

Se volessimo riassumere in una frase il quadro generale che si presentava ai fisici alla fine del XIX secolo, potremmo dire che varie branche della fisica - meccanica, elettromagnetismo, ottica, termodinamica - si erano ormai singolarmente consolidate ognuna con una notevole ricchezza di contenuti e di conferme sperimentali; l'elettromagnetismo e l'ottica si erano poi bellamente fusi grazie all'opera di Maxwell; ma i guai e le contraddizioni cominciavano non appena si cercava di sistemare tutte queste branche in un quadro unitario e connesso, introducendo le necessarie interrelazioni e compatibilità tra di esse: in particolare, come s'è detto, cercando di mettere insieme meccanica ed elettromagnetismo, e, come si potrebbe altrimenti vedere, elettromagnetismo e termodinamica. D'altra parte, un interessante, anche se ancora rudimentale, esempio di connessione costruttiva tra la meccanica e la termodinamica era, per esempio, quello cui si accennava all'inizio del paragrafo 6.3, cioè il modello di gas con molecole puntiformi (la cosiddetta «teoria cinetica dei gas perfetti»), che porta a una sorprendente derivazione meccanica dell'equazione dei gas perfetti, insieme con un'interpretazione meccanica del concetto di temperatura.

Di fronte a questo si possono in astratto distinguere due diversi tipi di atteggiamenti: il primo è quello di chi cerca di risolvere le difficoltà e di costruire nuovi collegamenti e nuove compatibilità all'interno di un quadro teorico globale che mantenga sostanzialmente la validità e la ricchezza acquisite dalle singole branche della fisica; e il secondo è invece quello che non teme di distruggere anche elementi essenziali delle vecchie teorie per raggiungere il fine di avere un quadro formalmente unitario. Verrebbe da chiamare il primo atteggiamento conservatore e il secondo rivoluzionario, se questi aggettivi non fossero ormai troppo intrisi di connotazioni positive o negative a seconda delle convinzioni politiche di ognuno; nel linguaggio di Kuhn si potrebbe parlare di una minore o maggiore disponibilità a un cambiamento di paradigma, ma quel che qui si vorrebbe argomentare è invece semplicemente che la scelta tra questi due atteggiamenti è stata, nel nostro caso storico, saldamente connessa alla disponibilità a rinunciare a quella rappresentabilità intuitiva, più o meno meccanico-centrica (o al più elettromagnetico-centrica), dei fenomeni fisici, di cui abbiamo già parlato nel paragrafo 6.1.

Di fronte a questo dilemma, proprio due furono gli atteggiamenti tenuti dai maggiori fisici dell'epoca, almeno se si è disposti a operare una iniziale violenta schematizzazione delle singole posizioni. In favore di un atteggiamento che voleva ricapire tutta la situazione in termini nuovi, ma conservando sostanzialmente lo schema concettuale della fisica di allora, si schierarono forse tutti i maggiori fisici teorici dell'epoca, Lorentz in testa, ma anche Kelvin, Poincaré e altri; in favore dell'atteggiamento più spregiudicato, che non temeva di sovvertire la legalità fisica esistente, si schierò nel 1905 un oscuro impiegato dell'Uffico federale dei brevetti di Berna, che veramente tanto oscuro non era, visto che da quattro anni pubblicava lavori non banali sui fondamenti della termodinamica, e che fin da piccolo fantasticava su cosa si dovrebbe provare quando si cavalca un raggio di luce. Stiamo parlando di Albert Einstein.

Il passo che abbiamo posto in esergo di questo capitolo contiene questa frase: «I concetti che tu creasti guidano ancor oggi il nostro pensare nella fisica, anche se oggi sappiamo che, se vogliamo tendere a una comprensione più profonda delle interconnessioni, essi devono essere sostituiti da altri ben più lontani dalla sfera dell'esperienza immediata». Einstein in questa fase della sua vita propose e sperimentò come non mai questo allontanamento, certo molto più di quanto non sia poi stato disposto a fare durante il successivo periodo di ulteriore grande fermento connesso con l'emergere della meccanica quantistica.

Egli semplicemente rovesciò la struttura logica della problematica esistente, ponendo assiomaticamente a fondamento della propria nuova teoria quanto prima andava invece spiegato. Fino ad allora occorreva spiegare come mai non si riuscissero a misurare variazioni nei valori della velocità della luce a seconda della direzione del suo moto; Einstein, pur non avendo probabilmente letto il passo della lettera di Goethe mostrato in esergo di questo paragrafo, visto che il volume che la conteneva uscì a Weimar nel 1909, mise a fondamento della sua teoria il postulato che la velocità della luce fosse sempre costante e in particolare non dipendesse dal moto della sorgente.

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Pagina 233

Dopo aver pubblicato, nel 1871, mentre era a G÷ttingen, un famoso articolo che inquadrava le geometrie non-euclidee nell'ambiente della geometria euclidea (l'articolo si intitolava Sulle cosiddette geometrie non euclidee), a Klein venne appunto offerta, malgrado la sua giovanissima età, la ordentliche Professur all'Università di Erlangen.

L'ispirazione iniziale del «programma» prende le mosse dalla constatazione dell'ormai molto pronunciata differenziazione che si è andata producendo all'interno della geometria - che, sostiene Klein, è purtuttavia una sola - e della conseguente esigenza forte di un paradigma unificante: «Sorge la questione se esista un principio generale, secondo il quale ambo i metodi [il metodo della geometria proiettiva e quello della geometria euclidea] potrebbero organizzarsi» (Klein 1889-90, p. 308). Nelle note I e II in fondo al lavoro (pp. 337-38) Klein lamenta esplicitamente lo stato «assai imperfetto» della scienza geometrica e auspica fortemente un suo miglioramento mediante il metodo unificante che egli propone. Ed ecco l'inizio della formulazione vera e propria della sua proposta:

Ora vi sono nello spazio delle trasformazioni che non alterano affatto le proprietà geometriche delle figure spaziali. Infatti, per la natura del concetto di proprietà geometriche, queste sono indipendenti dalla posizione che la figura da studiare occupa nello spazio, dalla sua grandezza assoluta, e finalmente anche dal senso in cui son disposte le sue parti. Le proprietà di una figura spaziale rimangono dunque inalterate rispetto a movimenti dello spazio, rispetto a trasformazioni di similitudine e rispetto all'operazione di riflessione (specchiamento) così come rispetto a tutte le trasformazioni che risultano da composizioni delle precedenti. Designiamo la totalità di queste trasformazioni con il nome del gruppo principale [Hauptgruppe] delle trasformazioni spaziali. Le proprietà geometriche non vengono variate dalle trasformazioni del gruppo principale. E inversamente si può dire: le proprietà geometriche possono essere caratterizzate dalla loro invarianza rispetto alle trasformazioni del gruppo principale. (Klein, 1889-90, pp. 310-11, con qualche modifica della traduzione)

[...]

Lo schema generale che Klein introduce nella classificazione delle geometrie è per noi di grande importanza, perché è lo strumento concettuale di base per cogliere l'idea di relatività. Tutte le teorie della fisica hanno un gruppo di invarianza, che caratterizza la loro validità in una classe più o meno ampia di sistemi di riferimento, e quindi la loro indifferenza al sistema di riferimento: come già più volte s'è detto in queste pagine, l'osservatore nel sistema di riferimento O scrive esattamente le stesse leggi della fisica di quello che si serve del sistema di riferimento O', purché O e O' siano collegati da una delle trasformazioni del gruppo di invarianza di quella teoria. Abbiamo visto che il gruppo di invarianza della fisica aristotelica è il gruppo euclideo, mentre quello della meccanica classica è il gruppo di Galileo. L'inizio dei guai della fisica classica alla fine dell'Ottocento potrebbe essere caratterizzato dicendo che il gruppo di invarianza dell'elettromagnetismo maxwelliano non è più il gruppo di Galileo, ma un gruppo di cui al tempo di Maxwell non si sospettava ancora l'esistenza: si tratta infatti di quello che abbiamo chiamato il gruppo di Poincaré, che fu ufficialmente introdotto nella fisica solo con la relatività speciale di Einstein.

L'arrivo, una decina d'anni più tardi, della relatività generale di Einstein, fu poi fortemente motivato dalla ricerca di un altro gruppo di invarianza, che inglobasse stavolta anche trasformazioni non lineari; come si vede, di nuovo seguendo un percorso che tende ad allargare l'ampiezza del gruppo. A cosa questo tenda, si cercherà di spiegare nel prossimo capitolo.

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Ma vi è ben di più: appare infatti sempre più largamente corroborata la teoria che asserisce che tutte le lingue della Terra hanno una grammatica universale comune. ╚ una delle idee guida del programma di ricerca del linguista statunitense Noam Chomsky e della sua ormai folta scuola. La straordinaria varietà delle lingue parlate e scritte sul nostro pianeta non impedisce che esse abbiano in comune un cuore duro che ne costituisce in qualche modo la vera essenza, l'assoluto che si raggiunge attraverso un serrato e difficile esame delle loro intricate relazioni. La traduzione da una lingua in un'altra è la trasformazione da un sistema di riferimento a un altro, ed è tanto migliore quanto più il contenuto sottostante quella traduzione rimane invariato, ed è dunque un invariante: l'assoluto è il senso che il messaggio vuol comunicare.

Nulla vieta tra l'altro - in questo settore - di considerare gruppi di invarianza che siano sottogruppi del grande gruppo che rende equivalenti tutte le lingue; si possono così ritrovare il cuore duro delle lingue indoeuropee, o di quelle sino-tibetane, o uralo-altaiche ecc. e certamente la ricerca dei linguisti è ben lontana dall'avere accertato con sufficiente precisione la rete di parentele, affinità e affiliazioni che caratterizzano le lingue del presente o del passato di cui si ha conoscenza. Ma la prospettiva originata dal programma di Erlangen aiuta anche qui a costruire un quadro di notevole eleganza formale e concisione concettuale, nel quale ogni frase in una data lingua che esprime un certo contenuto non rappresenta che il punto di vista di un certo insieme di parlanti (del presente o del passato) su quel contenuto, il loro modo di esprimerlo, il quale contenuto è individuato al meglio dall'insieme delle sue espressioni linguistiche in tutte le lingue umane. Non si può non esser d'accordo - in questo senso - con Steven Pinker, quando afferma (in Pinker 1994) che chi conosce più lingue capisce meglio le cose, ne ha una visione più piena; un modo ricco, tra l'altro, per andare oltre l'ipotesi di Sapir-Whorf sulla cosiddetta - appunto - relatività linguistica.

E infine, il terreno più vasto e umano cui un tale schema di pensiero può forse piegarsi è quello più generale delle culture che l'umanità è stata in grado di costruirsi e organizzarsi nella grande diversità delle condizioni ambientali che ha incontrato sul pianeta dove si è sviluppata.

Paul K. Feyerabend, che già in questo libro abbiamo avuto modo di nominare, è stato, in molti contesti, un assertore dell'incommensurabilità delle teorie scientifiche, dell'impossibilità cioè, in linea di principio, di tradurre una teoria in un'altra, ovvero di esprimere una teoria con il linguaggio dell'altra (la massa della relatività speciale non è la massa della meccanica classica ecc.). Negli ultimi anni della sua vita egli ha tuttavia assai ammorbidito, almeno in certi settori di analisi, questa radicale affermazione, fino a giungere, nel caso delle culture, alla posizione che traspare dalla seguente frase: «Se ogni cultura è in potenza tutte le culture, le differenze culturali non sono più ineffabili e diventano manifestazioni specifiche e mutevoli di una natura umana comune» (Feyerabend 1994, p. 106, ora anche in Feyerabend 1999; trad. it., pp. 41-42, soprattutto la nota 25). Feyerabend appoggia la sua analisi - tra l'altro - su un notevole libro dovuto all'antropologo messicano contemporaneo Renato Rosaldo, che propone, in polemica con le posizioni più conservatrici dell'etnologia tradizionale, un nuovo atteggiamento verso il complesso delle culture che si incontrano sul nostro pianeta, considerate tutte, dagli aborigeni australiani agli occidentali bianchi e tecnologizzati, su un identico sgabello di analisi. Rosaldo non crede alla «dottrina antropologica ufficiale [che] ritiene che ogni cultura umana sia così unica che nessun metro possa misurare l'una con l'altra» (Rosaldo 1993, p. 196) e che tuttavia mette - tra le righe - una scala di valori tra le diverse culture, ma sostiene al contrario che non abbia senso la nozione di «popolo senza cultura», o di popolo con più o meno cultura di un altro, e che confronti e scambi non solo sono possibili e auspicabili, tra una cultura e l'altra, ma di fatto continuamente avvengono, anche attraverso numerose zone di concreta intermediazione e comunicazione.

Particolarmente buona sembra a chi scrive questa prospettiva nella quale l'ispirazione del programma di Erlangen offre un insospettato spunto per cominciare a scorgere nella grande pluralità delle culture umane un'unità costituita da tutto ciò che rimane profondamente invariante quando si passa dagli hopi ai lettoni, dai danesi ai maori, dagli italiani ai senegalesi. Non per considerare con ciò esaurito un discorso di scoperta dell'autenticamente umano, scoperta che è ovviamente in larga misura ancora da costruire, né per sottovalutare grumi di differenze sedimentate che costituiscono comunque sorgenti di incomprensioni e difficili lontananze, semplicemente invece per arricchire di una prospettiva di analisi proveniente dal cuore apparentemente più astratto della matematica un terreno di lavoro che di giorno in giorno si fa più concreto, secondo il quale una singola cultura-popolazione non è che un «punto di vista sull'uomo» e l'umanità è ben rappresentata e descritta soltanto dal complesso dei differenti punti di vista possibili, cioè dalla meravigliosa varietà dei popoli che la compongono.

 

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