TecaLibri: Paolo Zellini: Breve storia dell'infinito

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Indice


 1. L'[infinito] di Aristotele.
    Il limite e l'illimitato            11

 2. Il limite                           31

 3. Numeri irrazionali                  57

 4. L'infinito di san Tommaso           79

 5. Infinito categorematico e
    infinito sincategorematico          91

 6. Giordano Bruno, Niccolò Cusano,
    Raimondo Lullo                     105

 7. L'eguaglianza                      121

 8. Cartesio                           137

 9. Leibniz                            147

10. Il principio degli indiscernibili.
    Le classi                          169

11. L'infinito attuale.
    Indefinito e transfinito           185

12. Le antinomie                       213

13. L'infinito aperto                  235

Nota bibliografica                     255

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Pagina 11

I.
L'[infinito] DI ARISTOTELE
IL LIMITE E L'ILLIMITATO

«C'è un concetto che corrompe e altera tutti gli altri. Non parlo del Male, il cui limitato impero è l'Etica; parlo dell'Infinito ». Così J.L. Borges introduce la sua breve biografia dell'Infinito in Otras Inquisiciones. Ma anche altrove traspare la sua concezione dell'infinito, spesso dissimulato in idee ad esso collegate, come assoluto male metafisico, operante nel cosmo come seme di disordine e assurdità. Non c'è nulla di più pericoloso della perdita del limite e della misura: l'errore dell'infinito è la perdita del valore contenuto nella relativa perfezione di ciò che è concretamente determinato e formalmente compiuto, ed induce perciò a smarrirsi nel nulla o in un labirinto senza via d'uscita.

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Pagina 20

In Anassagora già comparvero i temi principali di ogni successiva analisi dell'infinito: l'incalcolabile numero di combinazioni degli infinitesimi e le imponderabili situazioni che generano le innumerevoli differenze formali alludono indubbiamente all'esistenza di un principio di continuità operante nella natura; Leibniz ne avrebbe fatto uno dei punti centrali della propria speculazìone. L'inesauribilità dell'illimitato e l'impossibilità a cogliere un assoluto minimo o un assoluto massimo, oltre a costituire un argomento centrale di continua meditazione, dalle scuole filosofiche di Oxford o Parigi nel XIV secolo alla metafisica di molti uomini del Rinascimento, fino a giungere a Leibniz e a Newton, fu alla base della definitiva formulazione che si dette al calcolo infinitesimale nello scorso secolo per opera di Cauchy e Weierstrass.

Ma la più esplicita dichiarazione della bipolarità fondamentale che regola il movimento del cosmo, espressa in termini di «finito» e «indefinito», venne dai Pitagorici. Ippolito scrive che il caldeo Zarata disse a Pitagora come «due siano fin dal principio le cause delle cose che sono, il padre e la madre: e che il padre è la luce, la madre la tenebra: e che della luce son parti il caldo il secco il leggero il veloce, della tenebra il freddo l'umido il pesante il lento; e che da questi, femmina e maschio, è composto tutto il cosmo». I due principi di cui la saggezza caldea, secondo Ippolito, indicò i nomi sopra elencati, furono chiamati dal pitagorico Filolao «limite» e «illimitato», e mentre il bene fu associato al limite, il male fu detto simile all'illimitato.

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Pagina 29

Ma il limite incarnato in qualche regola morale o norma etica non può costituire un assoluto e deve essere alimentato, per sopravvivere, da una propria ininterrotta forza e necessità interiore: esso è sempre soggetto all'effetto dissolvente dell'illimitato. Sicché «è altrettanto vero» osserva Musil «che la nostra morale è la cristallizzazione esterna di un movimento interiore pienamente diverso da essa ». «L'attitudine al bene, la quale in qualche modo è pur presente in noi, corrode subito le pareti se la si rinchiude in una forma fissa, e attraverso quella fessura si butta al male!... I sentimenti non sopportano di essere legati». E ancora: «guai se la fede è vecchia di un'ora!».

Ogni volta che la crisi di un'epoca sembra trascinare con sé la disgregazione della morale vigente e l'illimitato travolgere le forme appassite e vuote del limite, l'estrema difesa e ricapitolazione di uno stato che consenta una sopravvivenza etica è suggerita dal protagonista di Der Mann ohne Eigenschaften: una morale che sia dotata di reale potere di accrescimento e non sia soggetta a periodiche catastrofiche sconfitte dovrebbe, per Ulrich, fondarsi non su un ordinamento stabilito per l'eternità bensì sull'ininterrotta attività di una fantasia creatrice, non regolata dall'arbitrio, capace di plasmare gli svariati suggerimenti che scaturiscono dall'infinito complesso delle possibilità di vivere. La morale andrebbe costruita in tal caso sui successivi gradini dell'esperienza e non sarebbe un ideale stabilito per sempre cui l'uomo normalmente non sa accedere per la sua scarsa purezza.

Ma la proposta di Ulrich è problematica. La forza morale viene in questo modo decomposta e ricondotta al suo puro substrato materiale (l'infinito complesso, delle possibilità di vivere); mentre le scoperte della fantasia, da cui si attende la sperata soluzione, sono pur esse delle forme, in cui non si può nutrire un'incondizionata fiducia. Un più profondo suggerimento, in cui è sfiorata l'ultima verità ove svanisce il perenne contrasto tra il limite e l'illimitato, sembra scaturire da un colloquio di Ulrich con il fanatico Hans Sepp: «la massima potenza che un uomo può sentire in sé... è in fondo uno stato di quiescenza, in cui nulla mai cambia, come un'acqua ferma».

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Pagina 31

II.
IL LIMITE

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Pagina 34

Conviene, per questo, ripensare provvisoriamente agli argomenti di Antifonte. In essi interviene una successione di poligoni che non è ciecamente illimitata; essa è orientata, pur nell'illimitatezza, verso un fine rappresentato dalla circonferenza. Nei poligoni è ravvisabile quindi una sorta di ordine teleologico di cui la circonferenza circoscritta è in qualche modo la causa finale irraggiungibile. La circonferenza è un limite che
[...]